个人笔记-《数字图像处理》(冈萨雷斯) 第三版- 第二章 数字图像基础（一）

在数字图像处理领域，《数字图像处理(第三版)》作为主要教材已有30多年。这是目前笔者个人所记录的笔记，后续会不断更新。若要获取本书pdf版本，可在本公共号"分享猿" 回复“DIP”获取下载链接。

1.灰度/强度
f(x,y)=i(x,y)r(x,y)
其中，0 < i(x,y) <∞ ， 0 < r(x,y) <1
i(x,y)：入射分量，入射到被观察场景的光源照射总量，取决于照射源
r(x,y)：反射分量，场景中物体所反射的光照总量，0(全吸收)、1(全反射)
令单色图像在任何坐标(x_0 ，y_0)处的强度(灰度)表示为l=f(x_0 ,y_0 )
区间[ Lmi n,Lmax ]称为灰度级, 通常为[ 0，L-1 ]，颜色变化：黑→灰→白
灰度级一般取为2的整数次幂，即 L=2^k

2.取样、量化
对坐标值进行数字化称为取样，对幅值数字化称为量化

3.数字图像表示

某些讨论中，使用传统的矩阵表示法来表示数字图像及其像素更为方便：

数字图像原点位于左上角，其中正x轴向下延伸，正y轴向右延伸，这种表示是笛卡尔坐标系。

4.动态范围
我们假设离散灰度级是间隔的，且他们是区间[0，L-1]内的整数。有时，由灰度跨越的值域非正式的称为动态范围，这里定义为系统中最大可度量灰度与最小可检测灰度之比。作为一条规则，上限却决于饱和度，下限取决于噪声

5.对比度
一幅图像中最高和最低灰度级间的灰度差为对比度

当一幅图像中像素可感知的数值有高的动态范围时，认为有高的对比度。相反，具有低动态范围的图像就很呆滞，看上去像冲淡了灰度。

6.存储图像所需的比特数b
b = M × N × k
当 M=N 时，b=N^2 k ，k对应灰度级数
如256个可能的离散灰度值的图像称为8比特图像

7.空间分辨率
每单位距离线对数和**每单位距离点数(像素数)**是最常用的度量。
每单位距离线对数：假设我们用交替的黑色和白色垂直线来构造-幅图形，其中线宽为W个单位(W可以小于1)。线对的宽度就是2W.每单位距离有1/2W个线对。例如，如果条线的宽度是 0.1 mm，每单位距离(mm)就有5个线对。广泛使用的图像分辨率的定义是每单位距离可分辨的最大线对数量(譬如每毫米100个线对)。
每单位距离点数是印刷和出版业中常用的图像分辨率的度量。在美国，这度量通常使用每英寸点数(dpi)来表示，例如，报纸用75 dpi的分辨率来印刷，杂志是133 dpi. 光鲜的小册子是175 dpi,一本精美的书可以是以2044 dpi印刷的。
从技术角度说，“像素”只存在于电脑显示领域，而“点”只出现于打印或印刷领域。对电脑显示屏，分辨率是用像素数目衡量;对数字文件印刷，分辨率是通常用每英寸所含点或像素〔dpi〕来衡量。

8.灰度分辨率
是指在灰度级中可分辨的最小变化
例如，通常说一幅被量化为256级的图像有8比特的灰度分辨率。

9.图像内插
内插是在放大、收缩、旋转和几何校正等任务中广泛应用的工具。
这里介绍最近邻内插法，双线性内插法，双三次内插法。
最邻近内插法
如将1010像素的图像放大1.5倍到1515像素。
步骤：
创建一个假想的1515网格，它与原始图像有相同的间隔，然后将其收缩，使其能准确与原图形匹配。显然，显然，收缩后的1515网格的像素间隔要小于原图像的像素间隔。为了对覆盖的每个点赋以灰度值，我们在原图像中寻找最接近的像素，并把该像素的灰度赋给15*15网格中的新像素。当我们完成对网格中覆盖的所有点的灰度赋值后，就把图像扩展到原来规定的大小，得到放大后的图像。

用图像展示上述过程

原来1010像素图像

假想的1515图像，与原图有相同像素间隔

将这个假想的1515图像收缩以匹配1010图像

将收缩后的1515图像覆盖在1010图像上
图像中黑格为原1010图像，红格为1515图像

选择与每个1515图像中像素点最相邻的1010图像的像素值将其赋值。如下图与1515中f(1,1)最相邻的是1010的f(1,1)，则将其赋相应的像素值。

对15*15图像中每个值都匹配好相应值后，再将其扩展到原size，便得到放大后的图像。

缺点：某些直边缘的严重失真。(由于这原因，实际上该方法并不常用。)

双线性插值
上面的是用原图上的一个点去确定新位置的灰度，而这个方法使用4个最近邻去估计给定位置的灰度。

如图，已知Q12，Q22，Q11，Q21，但是要插值的点为P点，这就要用双线性插值了，首先在x轴方向上，对R1和R2两个点进行插值，这个很简单，然后根据R1和R2对P点进行插值，这就是所谓的双线性插值。
赋值公式为 v(x,y)=ax+by+cxy+d
如果选择一个坐标系统使得 f 的四个已知点坐标分别为 (0, 0)、(0, 1)、(1, 0) 和 (1, 1)，则
d = f(0,0)
a = f(1,0)-f(0,0)
b = f(0,1)-f(0,0)
c = f(1,1)-f(1,0)-f(0,1)-f(0,0)
详细步骤见这篇博客：http://www.cnblogs.com/linkr/p/3630902.html
另外，双线性内插法并不是一种线性内插法，因为其包含xy项
双线性内插法给出了比最近邻内插好得多的结果，但随之而来的是计算量的增加。

双三次内插
它包括16个最邻近点。赋值公式如下：

其中，16个系数可由16个用(x,y)点最邻近点写出的未知方程确定。当求和的上下限分别为0和1，则可得到双线性内插法的公式。通常，双三次内插在保持细节方面比双线性内插相对较好。双三次内插是商业图像编辑程序的标准内插方法，例如Adobe Photoshop等。
想要更深一步了解双三次内插，传送门：https://blog.youkuaiyun.com/qq_29058565/article/details/52769497
最后，三种方法的python实现，请参考：
https://blog.youkuaiyun.com/u013185349/article/details/84841202

10.相邻像素
p 的4邻域 (N_4 ( p ) )

p 的8邻域 ( N_8 § )

p的D邻域 N_D ( p) 表示 p 的四个对角相邻像素

11.邻接性、连通性、区域和边界
令V是用于定义邻接性的灰度值集合。在二值图像中，如果把具有1值的像素归诸于邻接像素，则V={1}
(a)4邻接：如果q在集合N_4 ( p)中，则具有V中数值的两个像素p和q是4邻接的。
(b)8邻接：如果q在集合N_8 ( p)，则具有V中数值的两个像素p和g是8邻接的，
( c) m邻接(混合邻接)：混合邻接是8邻接的改进。混合邻接的引人是为了消除采用8邻接时产生的二义性。
考虑下图中对于V={1} 的像素排列

上图分别是8邻接和m邻接
通路：如果从（x0,y0）点到（xn,yn）点，其中的每个点与前后都是K邻接的（K代表4、8、m），则说这两个点之间存在一条K通路，注意一定要强调明白K，而n是这个通路的长度，如果（x0,y0）和（xn,yn）是重合的，那么说这是一条闭合通路。上图分别对应8通路和m通路。
连通：对于图像中的某一个像素子集U和其中的两个点p和q，如果p和q之间有一个有U中全部元素构成的通路，那就说p和q是连通的。
连通集：接上，对于U中的元素p，U中能连通到p的元素的集合叫做U的连通分量，如果U只有一个连通分量，那么U就是一个连通集。
区域：令T是图像中的某一个子集，如果T是一个连通集，那么称T是一个区域。
理解这些概念的时候，不能孤立的看，要和图像分割的过程结合起来看，比如图像的前景和背景，就是跟区域有关的。假设一幅图像中有M个不连接的区域，且它们都不接触图像的边界，令R1代表这M个区域的并集，令R2代表其补集，那么R1中的所有点就是图像中的前景，而R2中的所有点就是图像的背景。

12.距离度量
有两像素 p（x，y）和 q（s，t）：
欧氏距离：

距离p小于或者等于某一值是：以p为原点的圆
D4/城市街区距离：

距离小于或者等于某一值是以p为中心的菱形，如图为D4 ≤2形成固定距离的轮廓：

其中D4 = 1的像素是(x，y)的4邻域
D8/棋盘距离：

距离p小于或者等于某一值是以p为中心的正方形：
下图为D8 ≤ 2的像素形成的固定距离的轮廓：

其中D8 = 1的像素是(x，y)的8邻域

D4距离和D8距离与通路无关。若考虑m邻接，则两点间的D_m距离用点间的最短通路定义。
考虑如下排列的像素并假设p,p2,p4值为1，p1,p3值为0或1：

考虑值为1的像素邻接[即V={1}]。则分下列几种情况讨论：
① p1 = p3 = 0，则p和p4之间的最短m通路的长度(D_m距离)是2

② p1= 1 ，p3=0，则p和p2不再是m邻接且p和p4之间的最短m通路的长度是3

③ p3 = 1，p1 = 0，此时最短m通路距离也是3

④ p3 = p1 = 1，此时最短m通路长度是4