通信网第二章（五）——支配集、独立集、覆盖集

目录：

支配集

独立集

覆盖集

求极小点覆盖与极大点独立集     求所有极小支配集

区别与联系

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支配集

 定义 5.1.1

设 D ⊆ V (G) ，若对 ∀u ∈V (G) ，要么 u ∈ D ，要么 u 与 D 中的某些顶点相邻，则称 D 为图 G 的一个支配集。

如果一个支配集的任何真子集都不是支配集，则称它为极小支配集。

图 G 的含顶点最少的支配集称为最小支配集。

最小支配集的顶点个数称为 G 的支配数，记为 γ ( G) 或 γ 。

 

特点：

1）最小支配集必是一个极小支配集，反之不然。

2）任一支配集必含有一个极小支配集。

 3）极小支配集不唯一，最小支配集一般也不唯一

4）对二部图 G = ( X ,Y ) ，X 和 Y 都是支配集

 5）若图 G 有完美匹配 M*，则从 M*中每边取一个端点构成的顶点集是一个支配集。

6）在图G中，如果顶点u与v相邻或u=v，则称u支配v

 

例如

在下图中， D0 = {v0 } ， D1 = {v1 , v4 , v7 } ， D2 = {v1 , v3 , v5 , v6 }都是 G 的支配集，前两个是极小支配集, D0 是最小支配集。 γ (G) = 1 。

匹配集

设 G 是一个图,  M ⊆ E(G) ，满足:对 ∀ ei , e j ∈ M ， ei 与 e j 在 G 中不相邻，则称 M 是 G 的一个匹配(matching)。

对匹配 M 中每条边 e = uv ，其两端点 u 和 v 称为被匹配 M 所匹配， 而 u和 v 都称为是 M 饱和的(saturated vertex)

注:每个顶点要么未被 M 饱和, 要么仅被 M 中一条边饱和。

如果 G 中每个点都是 M 饱和的, 则称 M 是 G 的完美匹配(Perfect matching).

 

特点：

1）最小支配集必是一个极小支配集，反之不然。

2）任一支配集必含有一个极小支配集。

 3）极小支配集不唯一，最小支配集一般也不唯一

4）对二部图 G = ( X ,Y ) ，X 和 Y 都是支配集

 5）若图 G 有完美匹配 M*，则从 M*中每边取一个端点构成的顶点集是一个支配集。

6）在图G中，如果顶点u与v相邻或u=v，则称u支配v

 

例如:

在下图G1中，边集{e1}、{e1,e2}、{e1,e2,e3}都构成匹配

{e1,e2,e3}是G1的一个最大匹 配。