《算法笔记》复习——扩展欧几里得算法

最新推荐文章于 2022-02-05 10:45:27 发布

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分类专栏： Algorithms 文章标签：扩展欧几里得算法

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本文深入探讨了扩展欧几里得算法的应用，详细解释了如何利用该算法解决方程组求解问题，包括扩展欧几里得算法本身、方程求解的推广、同余式求解的方法。通过具体实例，阐述了算法的原理和步骤。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

扩展欧几里得算法在算法中能够解决方程组求解问题，在算法笔记上给出了四种求解问题：

1. 扩展欧几里得算法。即 $ax+by = gcd\left ( a,b \right )$ ，最终可以得到所有解：

$\left\{\begin{matrix} {x}' = x + \frac{b}{gcd} *K\\ {y}' = y - \frac{a}{gcd}*K\\ \end{matrix}\right.$

2. 方程 ax+by =c 的求解。从1中推广而来，即1式中两边同乘 $\frac{c}{gcd}$ 。充要条件是c%gcd==0，因此全部解的公式如下：

$\left\{\begin{matrix} {x}' = x+ \frac{b}{gcd} *K = \frac{cx_{0}}{gcd} + \frac{b}{gcd}*K\\ {y}' = y - \frac{a}{gcd} *K = \frac{cy_{0}}{gcd} - \frac{a}{gcd} *K\\ \end{matrix}\right.$

3. 同余式 $ax \equiv c(mod \: \, m)$ 的求解。同余式指m整除a-b，那么a与b模m同余，即 $\left ( a-b \right ) \% \, m = 0$ .

根据同余式的定义，有 $\left ( ax-c \right )\%m=0$ 成立，因此存在整数，使得 ax-c = my ，移项令 y=-y 即得

ax+my = c

设a,c,m是整数，其中 $m\geq 1$ ,则：

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