Dp——最长上升子串、最长上升子序列

最新推荐文章于 2023-10-30 16:06:05 发布

popwe

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分类专栏：动态规划文章标签：动态规划算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/popwe/article/details/107569483

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这篇博客详细介绍了如何使用动态规划解决最长上升子串和最长上升子序列问题。通过数学建模、状态方程和边界条件的分析，给出了解题思路，并提供了代码实现。样例输入和输出展示了算法的实际应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

最长上升子串

一、题目描述

描述

一个数的子串bi，当b1 < b2 < … < bS的时候，我们称这个子串是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, …, aN)，我们可以得到一些上升的子串(ai1, ai2, …, aiK)，这里1 <= i1 < i2 < … < iK <= N。如：对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子串，如(1, 7), (3, 5, 9)等等。这些子串中最长的长度是3，比如子序列(3, 5, 9).你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子串的长度。

输入

输入格式：两行，第1行1个整数n(n<=1000)，表示序列长度，第2行n个整数用空格隔开表示具体数值。

输出

输出格式: 一行，一个整数表示最长序列的长度。

样例输入

7
1 7 3 5 9 4 8

样例输出

3

二、解题思路

因为是最优子结构的问题，所以，可以采用动态规划来做。

【数学建模】

定义dp[i]代表以第i个数结尾的最长上升子序列的长度，所以最终的答案那就是整个dp数组中最大的那一个数。

下标	原数组	dp数组
1	1	1
2	7	2
3	3	1
4	5	2
5	9	3
6	4	1
7	8	2

ans=max(dp)=3;

【状态方程】

如果A[i]（原数组）>A[i-1]，则dp[i]=dp[i-1]+1;
否则，dp[i]=1;

【边界（初始化）】

因为第一个一定是一个上升的子串，所以dp[1]=1。

三、代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,A[10010],dp[10010],ans;
int main()
{
   
	scanf("%d",

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