二分法

         二分法又称分半法，或对分法，是一种方程式根的近似值求法。二分法经常做为许多算法的优化途径，可以使一些O（n）的算法优化成O（logn）。所以在计算机竞赛中经常使用，为基础算法。

          二分法的思想：分而治之。将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同，（如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题），然后递归的求解这些子问题，最后用适当的方法将各个子问题的解合并成原问题的解。 

 1.二分查找

代码：

find_x(a, x)
    left = 0, right = a.length - 1
    while left <= right
        mid = (left + right) / 2
        if a[mid] == x
            return mid
        else if a[mid] < x
            left = mid + 1
        else
            right = mid - 1
    return NOT_FOUND

二分法进行数值计算：

      对于区间[a，b|上连续不间断且f（a）×f（b）<0的函数y=f（x），一定存在一个零点，也就是存在一个x使得f（x）=0。通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。

 

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const double eps = 1e-3;
double f(double x) {
    return pow(x, 4) + 5 * pow(x, 3) + 6 * pow(x, 2) + 7 * x + 4;
}
double cal(double y){
    if(f(0)>y||f(100)<y){
        return -1;
    }double l=0,r=100;
    while(r - l > eps){
        double mid=(l+r)/2;
        if(f(mid)>y){
            r=mid;
        }else{
            l=mid;
        }
    }
    return l;
}
int main () {
    double y;
    cin>>y;
    printf("%.3lf\n",cal(y));
    return 0;
}

两种二分快速幂：

package _二分法;

public class _快速幂_1 {

	static int mod = (int) 1e9;

	static long pow(int a, int b) {
		if (b == 0)
			return 1 % mod;
		long temp = pow(a, b / 2);
		if ((b & 1) != 0) {
			temp = temp * temp * a % mod;
		} else {
			temp = temp * temp % mod;
		}
		return temp;
	}

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub

		long ans=pow(4,6);
		System.out.println(ans);
	}

}

package _二分法;

public class _快速幂_2 {
//循环写法
// 计算4^6
	static int mod = (int) 1e9;

	static long pow(int a, int b) {
		int res = 1;
		while (b != 0) {
			if ((b & 1) != 0) {
				res = res * a % mod;
			}
			b >>= 1;
			a = a * a % mod;
		}
		return res;
	}

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub

		long t=pow(4,6);
		System.out.println(t);
	}

}

二分问题基本是二分的模板加上check函数检查答案。

01分数规划

           01分数规划是这样的一类问题，有一堆物品，每一个物品有一个收益ai，一个代价bi，我们要求一个方案，使选择的k个元素一：最大值。
          首先我们来一道例题吧，01分数规划的大体方法都是一样的。给出n个物品，每个物品有两个属性a和b，选择k个元素，请问选择k个元素的：最大值是多少？

 

       我们先假设   , 其中xi只有两个取值0，1，表示是否选取第i个物品，并且  ，一共选k个元素。

继续假设有一组x在f（x）=v的时候，为最优解，上式变形如下： ,这时候对v二分求解就可以了。

代码如下：

package _二分法;

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class _01分数规划 {

	static int n;
	static double eps = 1e-5;
	static int[] a;
	static int[] b;
	static double[] temp;

	static double g(double v) {
		// 计算ax-v*bx
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			temp[i] = a[i] - v * b[i];
		}
		Arrays.sort(temp);
		double sum = 0;
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			sum += temp[i];
		}
		return sum;
	}

	static double cal() {
		double l = 0, r = 1e9;
		while (r - l > eps) {
			double mid = (l + r) / 2;
			if (g(mid) > 0) {
				l = mid;
			} else {
				r = mid;
			}
		}
		return l;
	}

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub

		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		n = sc.nextInt();
		a = new int[n];
		b = new int[n];
		temp = new double[n];
		for (int i = 0; i < n; i++)
			a[i] = sc.nextInt();
		for (int i = 0; i < n; i++)
			b[i] = sc.nextInt();
		System.out.println(cal());
	}

}