1. 二进制
给定一个集合,枚举所有可能的子集。枚举子集的方法有很多,二进制是一种代码编写非常方便的枚举子集方法。我们可以用二进制的一位表示集合对应某一元素的选取状态,1表示选取,0表示未选取。比如集合{ 1,2,3,4,5,6 },我们可以用010111表示集合{1,2,3,5}.
二进制数位 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
是否选取(0,1) | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
通过用二进制,可以很方便的枚举子集。
2.位运算
与运算:两者都为1时,结果即为1,否则为0. (可以看成和&&计算结果一样)。
或运算:两者都为0时,结果即为0,否则为1。(看以看成和 || 结果一样)
异或运算:是两者同为0或1时,结果即为0,否则为1。(类似数学中的 - 减去)
对于A<<B,表示把A转化为二进制后向左移动B位(在末尾添加B个0)。
对于A>>B,表示把A转化为二进制后向右移动B位(删除未尾的B位)。
题目:
话说大诗人李白,一生好饮。幸好他从不开车。
一天,他提着酒壶,从家里出来,酒壶中有酒两斗。他边走边唱: 无事街上走,提壶去打酒。逢店加一倍,遇花喝一斗。
这一路上,他一共遇到店5次,遇到花10次,已知最后一次遇到的是花,他正好把酒喝光了。请你计算李白遇到店和花的次序,有多少种可能的方案。
我们可以将1表示为遇店,0表示遇花,枚举15位的01序列来判断是否满足要求。
int ans = 0;
for (int i = 0; i < (1<<15); ++i) {
int tot_1 = 0;
int tot_0 = 0;
int num = 2;
for (int j = 0; j < 14; ++j) {
if (i&(1 << j)) { // 这里判断二进制 i 从右数第 j + 1 位是否为 1
tot_1++;
num = num * 2;
} else {
tot_0++;
num = num - 1;
}
}
//如果最后一次遇到的是店,那么不符合要求
if(i&(1<<14))continue;
if (tot_1 == 5 && tot_0 == 9 && num == 1) {
++ans; // 记录合法方案数
}
}
3.状态压缩动态规划(状压DP)
需要借助状态压缩过程的动态规划就是状态压缩DP(很多地方会简称为状压DP)。就是将状态压缩到二进制位中,然后通过DP的手段求解。DP的每一步即是一个状态。
例题 下面我们通过一个具体的题目来了解状态压缩动态规划。
n个人在做传递物品的游戏,编号为1-n。游戏规则是这样的:开始时物品可以在任意一人手上,他可把物品传递给其他人中的任意一位;下一个人可以传递给未接过物品的任意一人。即物品只能经过同一个人一次,而且每次传递过程都有一个 代价;不同的人传给不同的人的代价值之间没有联系。求当物品经过所有n个人后,整个过程的总代价是多少。
解析:
我们就可以将“当前传递过物品的人的集合、最后一个传递到的人”作为状态进行动态规划,用dp[i][j]表示这个状态的最小代价。
这里,我们就要用到状态压缩:把“传递过物品的人的集合”压缩为一个整数。我们用二进制表示这个集合,比如一共5个人,第0、3、4个人被传递过(为了方便起见,序号从0开始),就用11001表示,该集合的十进制表示为25。
注意到j是最后一个被传递到的人,也就是说必须在传递集合i中标记为1,即合法状态必须满足(i&(1<<j))!=0。如果从j传递到k,那k必须不在集合i里,即必须满足(i&(1<<k))==0。
转移方程为dp[i|1<<k][k]=min(dp[il1<<k][k],dp[i][]+a[j][k]),其中a[j][k]为从j传递到k的代价。
因为开始时物品可以在任意一人手上,所以把dp[1<<i][i]置为0,其它状态置为无穷大。
代码:
memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
for (int i = 0; i < n; i++) {
dp[1 << i][i] = 0;
}
for (int i = 0; i < (1 << n); i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (i & (1 << j)) {
for (int k = 0; k < n; k++) {
if (!(i & (1 << k))) {
dp[i | 1 << k][k] =
min(dp[i | 1 << k][k], dp[i][j] + a[j][k]);
}
}
}
}
}
int ans = INF;
for (int i = 0; i < n; i++) {
ans = min(ans, dp[(1 << n) - 1][i]);
}
4.旅行商问题
旅行商问题,即TSP问题(Traveling Salesman Problem)又译为旅行推销员问题、货郎担问题,是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访n个城市,他必须选择所要走的路径,路径的限制是每个城市只能拜访一次,而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。
代码:
package _状态压缩;
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class _旅行商问题 {
static int n, INF = (int) 1e9;
static int[][] dist;
static int[][] dp = new int[1 << 16][20];
static void init() {
dist = new int[n][n];
for (int i = 0; i < (1 << 16); i++)
Arrays.fill(dp, INF);
}
static void Floyd() {
for (int k = 0; k < n; k++) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
dist[i][j] = Math.min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]);
}
}
}
}
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
init();
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
dist[i][j] = sc.nextInt();
if (dist[i][j] == -1)
dist[i][j] = INF;
}
}
dp[1][0] = 0;
// 枚举状态
for (int s = 0; s < (1 << n); s++) {
// 枚举当前在哪个点上
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 如果城市i在状态S中
if ((s & (1 << i)) != 0) {
// 枚举前一个城市
for (int j = 0; j < n; j++) {
// 如果城市j在状态S中
if (j != i && (s & (1 << j)) != 0) {
// ^ 帮助完成减法操作 s^1<<i == s-(1<<i)
dp[s][i] = Math.min(dp[s][i], dp[s ^ 1 << i][j] + dist[j][i]);
}
}
}
}
}
int ans = INF;
for (int i = 0; i < n; i++) {
ans = Math.min(ans, dp[(1 << n) - 1][i] + dist[i][0]);
}
if (ans == INF)
ans = -1;
System.out.println(ans);
}
}