拉普拉斯变换和拉普拉斯分析基于matlab总结

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所用的MATLAB函数：

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dirac(t) 冲激函数   heaviside(t)  阶跃函数
laplace(ft)  单边拉普拉斯变换    ilaplace(Fs) 拉普拉斯逆变换
num=[1 0];den=[1 0 100];  %X=s/(s^2+100)
sys=tf(num,den);  %建立一个传递函数，分子为num,分母为den
poles=roots(den)  %求极点
pzmap(sys);  %零极点分布图显示
[r,p,k]=residue(num,den)
num den分子分母多项式的系数向量
r部分分式的系数
p为极点
k为多项式系数，若为真分式，其为0
roots(den)函数计算H（s）的零极点
format rat   %使用分数来表示数值
pretty(Ys);%看起来好看的Ys
yzit=vpa(yzit0,4);  %vpa 设置精度，0.001111 四位
t1=linspace(eps,5,100); %eps = 1/4503599627370496=0+；
ht1=subs(ht,t,t1); %置换函数 syms t->t1数值点，求冲激函数各时点的数值解
t=0:0.02:15;mpulse(num,den,t);step(num,den,t); 冲激响应 阶跃响应绘图
[H,w]=freqs(num,den); plot(w,abs(H))；plot(w,angle(H))求得幅频相频响应

正文

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1.从傅里叶变换到拉普拉斯变换


2.双边拉普拉斯变换的收敛域

（1） 因果的。当t＜0时，f（t）=0。若因果信号的双边拉普拉斯变换存在，则其收敛域在其极点右边的一个平面。
（2） 反因果的。当t＞0时，f（t）=0。若反因果信号的双边拉普拉斯变换存在，则其收敛域在其极点左边的一个平面。
（3）非因果的，以上二者的组合。若非因果信号的双边拉普拉斯变换在，则其收敛域是其因果部分的收敛域和其反因果部分的收敛域的交集。

3.单边拉普拉斯变换

利用MATLAB求解laplace求信号的单边拉普拉斯变换
符号法：

syms t s;
d=dirac(t);
D=laplace(d)
u=heaviside(t);
U=laplace(u)
g=heaviside(t+1)-heaviside(t-1);
G=laplace(g)
x=exp(-2*t);
X=laplace(x)

结果：
D =1
U = 1/s
G =1/s - exp(-s)/s
X =1/(s + 2)

3.单边拉普拉斯变换的性质

MATLAB比较cos10t ε（t）和e–tcos10t ε（t）的极点位置，分析s域平移性质对收敛域的影响
符号计算法

clear
syms t s;
x=cos(10*t);
y=exp(-t)*cos(10*t);
X=laplace(x)   %好像laplace函数就是求单边普，不用x=cos(10*t)*heaviside(t)了
Y=laplace(y)    % plotting of signals and poles/zeros??  
figure(1) 
subplot(221)
ezplot(x,[0,5]);grid
axis([0 5 -1.1 1.1]);
title('x(t)=cos(10t)ε(t)')
num=[1 0];den=[1 0 100];  %X=s/(s^2+100)可知
sys=tf(num,den);  %建立一个传递函数，分子为num,分母为den
poles=roots(den)  %求极点
subplot(222)
 pzmap(sys);  %零极点分布图显示
 axis([-2 1 -20 20]);
 subplot(223)
 ezplot(y,[-1,5]);grid
 axis([0 5 -1.1 1.1]);
 title('y(t)=cos(10t)exp(-t)ε(t)')
 num=[0 1 1];den=[1 2 101];
 sys=tf(num,den);
 poles=roots(den)
 subplot(224)
 pzmap(sys);
 axis([-2 1 -20 20])