基于MATLAB去理解掌握傅里叶级数和傅里叶变换

1.周期信号的傅里叶级数

f(t)=f(t+T) F0=1/T为基波频率
满足狄利赫里条件则周期信号可以展开为三角函数的线性组合
（1） 在一个周期内，函数f（t）为连续或只含有有限个第一类间断点；
（2） 在一个周期内，函数f（t）的极值点为有限个；
（3） 在一个周期内，函数f（t）是绝对可积的；

利用欧拉公式将其转换为复指数形式的傅里叶级数

三角函数标准形式中cn是第n次谐波分量的振幅，但在指数形式中，Fn要与相对应的F–n合并，构成第n次谐波分量的振幅和相位。是cn幅度一半

2.周期信号的频谱

一个周期信号与另一个周期信号的区别，在时域中表现为波形不同；而在频域中则表现为Fn不同，即振幅和相位的不同。因而振幅和相位是在频域中研究信号f（t）的关键。

前面已述，周期信号的复振幅Fn一般为nω0的复函数，因而描述其特点的频谱图一般有两个：一个称为振幅频谱，简称幅度谱，它是以ω为横坐标、振幅为纵坐标所画的谱线图；另一个称为相位频谱，简称相位谱，它是以ω为横坐标、相位为纵坐标所画的谱线图。

在信号的复振幅Fn为ω的实函数的特殊情况下，其复振幅与变量（ω）的关系也可以用一个图绘出。

信号的时域波形与频谱都是实际存在的，例如我们可以通过示波器来观察信号的时域波形，通过频谱分析仪观察信号的频谱。声波有频谱，图像也有频谱，频谱与时域波形一样具有实际意义。

试画出周期信号f（t）=–1+2sin（0.2πt）–3cosπt的幅度频谱。
解：MATLAB程序如下：

% %周期信号的幅度频谱 
t=0:0.1:50;
f=-1+2*sin(0.2*pi*t)-3*cos(pi*t);
F=fftshift(fft(f))/501;
subplot(211)
plot(t,f);
axis([-1 50 -6.1 4.1]);
subplot(212) 
w=-5*pi:0.02*pi:5*pi; 
plot(w,abs(F))%注意w和F的点数要一样 直接看点点数求出来，以下面的一种方法为标准方法
axis([-5 5 -0.1 3]);
 
figure
N=5000;T=0.1;n=1:N;  %5000个数据点 时间间隔 0.1s
D=2*pi/(N*T);  %将时间域转换成频域  频域间隔0.004pi 因为fft横轴代表的是点数，所以要乘以D来转换成角频率
f=-1+2*sin(0.2*pi*n*T)-3*cos(pi*n*T);
F=fftshift(fft(f))/N;     %为什么要除以N，因为DFT的频谱除以信号长度才是真实的周期信号傅里叶级数值
%又因为是双边谱，所以0.2pi是1 pi是1.5
k=floor(-(N-1)/2:N/2);    %将正域的5000个点转移至正负域，k都是整数
subplot(311)
plot(n*T,f);
axis([