数学板块学习之数论中的某些定理

定理不分先后，纯粹是整理，不知道叫啥的就直接用数字表示了,希望用这个定理前还是自己在题中确认一下，避免万一因各种原因比如手误等导致比赛时发现定理写的不对劲,不定时更新

某些公式单独开一个好像有点凌乱，还是和这些定理放在一起吧，反正也没得解释，只是公式

斯特林公式 ——Stirling公式（取N阶乘近似值）

$n!\approx \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e}{)}^n$
n!的位数：$res=\lfloor \frac{lg(2\pi n)}{2}+nlg\frac{n}{e}\rfloor +1$

素数定理

即$\pi (n)$为小于$n$的素数的个数，则$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\pi (n)}{\frac{n}{\ln n}}=1$

威尔逊定理

对于素数p，有$(p-1)!\equiv p-1(modp)$

定理1：

设$a>b,gcd(a,b)=1$,则$gcd(a^m-b^m,a^n-b^n)=a^{gcd(m,n)}-b^{gcd(m,n)}$

定理２：

设$a>1,m,n>0$，有$gcd(a^m-1,a^n-1)=a^{gcd(m,n)}-1$

定理３：

设$G=gcd(C_n^1,C_n^2,\cdots ,C_n^{n-1})$那么$G$的值为

1. $n$为素数，$G=n$
2. $n$有多个素因子，$G=1$
3. $n$只有一个素因子，$G$等于该因子

定理４：

设$F_n$为斐波拉契数，那么$gcd(F_m,F_n)=F_{gcd(m,n)}$

定理５：

给定两个互素的正整数$A,B$，那么他们最大不能组合的数为$A\ast B-A-B$，不能组合的数个数为$\frac{(A-1)(B-1)}{2}$

定理６：

莫比乌斯
${\sum }_{i=1}^{n}gcd(i,n)={\sum }_{d|n}d\mu (\frac{n}{d})$

定理７：

$(n+1)lcm(C_n^0,C_n^1,\cdots ,C_n^n)=lcm(1,2,\cdots ,n+1)$

定理８：

任何$n$个连续正整数的乘积均可以被$n!$整除

定理９：

由定理７，定理８得：

1. 对于素数$p$,$C_p^1,C_p^2,\cdots ,C_p^{p-1}$均能被$p$整除
2. 对于素数$p$,有$x+y+\cdots +\omega \equiv x^p+y^p+\cdots +{\omega }^p(modp)$