参数化曲线

参数化曲线
取参数化曲线上一点，其点的坐标各个分量都是参数u的函数，即
$$\mathbf{p}=\mathbf{p}(u)=[x(u),y(u),z(u){]}^T$$
通常，采用基形式描述一条参数化曲线：
$$\mathbf{p}(u)=\sum _{i=0}^n{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}{\phi }_i(u)$$
其中， ${\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}$称为系数矢量， ${\phi }_i(u)$称为基函数。

例如，给定两点${\mathbf{p}}_0=[1,2,4{]}^T$，${\mathbf{p}}_1=[9,6,8{]}^T$，做一条经过两点的参数化直线，做线性插值：
$$\mathbf{p}(u)={\phi }_0\ast {\mathbf{a}}_0+{\phi }_1\ast {\mathbf{a}}_1=(1-u)\ast {\mathbf{p}}_0+u\ast {\mathbf{p}}_1$$
做高次插值：
$$\mathbf{p}(u)=(1-u^3)\ast {\mathbf{p}}_0+u^3\ast {\mathbf{p}}_1$$
取参数u的范围为[0,1]，将两种插值方式生成点的x,y,u的关系曲线分别绘制出来：

线性插值

三次插值 由此可以看出，经过两个点的参数化直线由于基函数的不同，并不是唯一的，线性插值和三次插值区别在于直线上的点沿参数轴分布的疏密程度不同。