参数化曲线——参数三次样条曲线（1）

若已知n+1个数据点${\mathbf{p}}_i(i=0,1,...,n)$，构造一条通过这些数据点的参数化多项式曲线，那么曲线方程的待定系数矢量必然等于数据点的个数：
$$\mathbf{p}(u)=\sum _{i=0}^n{\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}{u}^{i}i=0,1,...,n$$
其中，系数矢量${\mathbf{a}}_{\mathbf{i}}$为待求的。

数据点越多，多项式曲线需要满足的插值条件就越多，其次数越高，曲线出现扭摆的可能性越大，某个数据点的微小变动就会引起曲线较大的变化。而多项式曲线的次数越低，描述的曲线形状就越简单。

为了克服以上问题，人们通常采用多段低次（三次）的多项式曲线来插值足够多的数据点，在每段三次多项式曲线连接点处满足一阶参数连续或二阶参数连续，即参数三次样条曲线。

对于给定n+1个数据点${\mathbf{p}}_i(i=0,1,...,n)$，欲构造插值于这些数据点的参数三次样条曲线，首先需要做的是数据点的参数化。即给每个数据点${\mathbf{p}}_i$赋予对应的参数值$u_i$，使参数值形成一个严格递增的序列$0=u_0<u_1<...<u_n=1$。

把插值曲线看做质点顺序通过一些空间位置（即数据点）的运动轨迹，参数u看做时间，那么对数据点的参数化，就等于规定了质点依次到达这些空间位置的时间。

同一组数据点，即使采用同样的插值法，若数据点的参数化不同，将可能获得不同的插值曲线，数据点的参数化通常有如下方法：

不同参数化获得的插值曲线

1. 均匀参数化
   节点在参数轴上等距分布：
   $u_i=i,i=0,1,...,n-1$
   然后进行归一化。

2. 积累弦长参数化
   $\{\begin{array}{rl}& u_0=0\\ & u_i=u_{i-1}+|\Delta {\mathbf{p}}_{i-1}|,i=1,2,...,n\end{array}$
   其中，$\Delta {\mathbf{p}}_i=\Delta {\mathbf{p}}_{i+1}-\Delta {\mathbf{p}}_i$为弦长矢量。这种参数化法反映了数据点按弦长的分布情况，一直被认为是最佳参数化法，多数情况下能获得满意的结果。

3. 向心参数化
   $\{\begin{array}{rl}& u_0=0\\ & u_i=u_{i-1}+|\Delta {\mathbf{p}}_{i-1}{|}^{\frac{1}{2}},i=1,2,...,n\end{array}$
   与积累弦长法不同的是，向心参数化法取的弦长的平方根的累积。

4. 修正弦长参数化
   $\{\begin{array}{rl}& u_0=0\\ & u_i=u_{i-1}+k_i|\Delta {\mathbf{p}}_{i-1}|,i=1,2,...,n\end{array}$
   其中，$k_i$为修正系数，与相邻两段的弦长即夹角有关。这种参数化方法增大了花费在曲线段运动的“时间间隔”，使“切向速度”变慢下来，好比老司机行驶在弯道较急的公路上把车速放慢下来一样。

工程实践表明，积累弦长参数化法在大多数应用中是满足要求的。