bzoj1041

1041: [HAOI2008]圆上的整点

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Description

求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2)，在圆周上有多少个点的坐标是整数。

Input

只有一个正整数n,n<=2000 000 000

Output

整点个数

Sample Input

4

Sample Output

4

题解：

orz。。。

这里先只考虑x，y都大于0的情况


如果x^2+y^2=r^2，则(r-x)(r+x)=y*y


令d=gcd(r-x,r+x),r-x=d*u^2,r+x=d*v^2,显然有gcd(u,v)=1且u<v


有2r=d*(u^2+v^2)，y=d*u*v，x=d(v^2-u^2)/2


枚举2r的约数d，再花费sqrt(2r/d)的时间枚举u，求出v=sqrt(2r/d-u^2)然后判断gcd(u,v)=1。

一个数字的平均约数个数为logn个，然后后面那个sqrt(2*r/d)在很多情况下都很小，所以比较快。


最后结果乘以4（四个象限）+4（坐标轴上）即可

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long ans,n;
long long gcd(long long n,long long m){
	if(m==0)return n;
	return gcd(m,n%m);
}
void pd(long long x){
	long long i,v;
	for(i=1;i<=(long long)sqrt(1.0*n/x);i++){
		v=(long long)sqrt(1.0*n/x-i*i*1.0);
		if(gcd(i,v)==1&&i<=v&&x*(i*i+v*v)==n)ans++;
	}
}
int main(){
	long long i;
	scanf("%lld",&n);
	n*=2;
	for(i=1;i*i<=n;i++)
	 if(n%i==0){
	 	if(n/i!=i){
	 		pd(i);
	 		pd(n/i);
		 }
		  else pd(i);
	 }
	 printf("%lld",ans*4);
}