leetcode：204. 计数质数（厄拉多塞筛法）

    简单题，有点合理又有点不合理

    先说说为什么合理：

    求素数的方法有很多种，最简单的方法是根据素数的定义来求。对于一个自然数N，用大于1小于N的各个自然数都去除一下N，如果都除不尽，则N为素数，否则N为合数。但是，如果用素数定义的方法来编制计算机程序，它的效率是非常低的，需要花费大量的时间复杂度。

    一般的我们知道有3条规则可以节约一点时间：第一，对于一个自然数N，只要能被一个非1非自身的数整除，它就肯定不是素数，所以不必再用其他的数去除。第二，对于N来说，只需用小于N的素数去除就可以了。例如，如果N能被15整除，实际
上就能被3和5整除，如果N不能被3和5整除，那么N也决不会被15整除。第三，对于N来说，不必用从2到N一1的所有素数去除，只需用小于等于√N(根号N)的所有素数去除就可以了。

再说说为什么不合理

    素数是除了1和它本身之外再不能被其他数整除的自然数。由于找不到一个通项公式来表示所有的素数，所以对于数学家来说，素数一直是一个未解之谜。像著名的 哥德巴赫猜想、孪生素数猜想，几百年来不知吸引了世界上多少优秀的数学家。尽管他们苦心钻研，呕心沥血，但至今仍然未见分晓。

    目前找到的最大质数：2的859433幂-1。

 

讲讲厄拉多塞筛法

    厄拉多塞是一位古希腊数学家，他在寻找素数时，采用了一种与众不同的方法：先将2－N的各数放入表中，然后在2的上面画一个圆圈，然后划去2的其他倍数；第一个既未画圈又没有被划去的数是3，将它画圈，再划去3的其他倍数；现在既未画圈又没有被划去的第一个数 是5，将它画圈，并划去5的其他倍数……依次类推，一直到所有小于或等于N的各数都画了圈或划去为止。这时，表中画了圈的以及未划去的那些数正好就是小于 N的素数。

    这很像一面筛子，把满足条件的数留下来，把不满足条件的数筛掉。由于这种方法是厄拉多塞首先发明的，所以，后人就把这种方法称作厄拉多塞筛法。
在计算机中，筛法可以用给数组单元置零的方法来实现。具体来说就是：首先开一个数组：a[i]，i=1，2，3，…，同时，令所有的数组元素都等于下标 值，即a[i]=i，当i不是素数时，令a[i]=0 。当输出结果时，只要判断a[i]是否等于零即可，如果a[i]=0，则令i=i+1，检查下一个a[i]。
   不难看出，这是以空间换时间了。

       //申请一个足够空间的数组，进行标记
        boolean[] nums = new boolean[n];
        for (int i = 2; i < nums.length; i++) {  //首先标记全部标记为true
            nums[i] = true;
        }

        //遍历数组，采用上述算法，标记是倍数的为false
        for(int i = 2; i*i < nums.length; i++) {
            if (nums[i]) {
                for(int j = i*i; j < nums.length; j+=i) {
                    nums[j] = false;
                }
            }
        }

      //统计出为true的，就是质数的总数
        for(boolean bool : nums) {
           res += bool ? 1 : 0;
        }
        
        return res; 

 

然后又有一个不常见的筛法

    用6N±1法求素数。
任何一个自然数，总可以表示成为如下的形式之一：
6N，6N+1，6N+2，6N+3，6N+4，6N+5 (N=0，1，2，…)
显然，当N≥1时，6N，6N+2，6N+3，6N+4都不是素数，只有形如6N+1和6N+5的自然数有可能是素数。所以，除了2和3之外，所有的素数都可以表示成6N±1的形式(N为自然数)。
根据上述分析，我们可以构造另一面筛子，只对形如6 N±1的自然数进行筛选，这样就可以大大减少筛选的次数，从而进一步提高程序的运行效率和速度。

百家争鸣

哥德巴赫猜想
　　哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture）大致可以分为两个猜想（前者称“强”或“二重哥德巴赫猜想”后者称“弱”或“三重哥德巴赫猜想”)：1、每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和；2、每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇质数之和。
黎曼猜想
　　黎曼猜想是一个困扰数学界多年的难题，最早由德国数学家波恩哈德·黎曼提出，迄今为止仍未有人给出一个令人完全信服的合理证明。即如何证明“关于质数的方程的所有意义的解都在一条直线上”。
　　此条质数之规律内的质数月经过整形，“关于质数的方程的所有意义的解都在一条直线上”化为球体质数分布。
孪生质数猜想
　　1849年，波林那克提出孪生质数猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生质数。
　　猜想中的“孪生质数”是指一对质数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孪生质数。
　　10016957和10016959是发生在第333899位序号质数月的中旬[18±1]的孪生质数。
　　质数月定位孪生质数发生位置：
　　首个质数月孪生质数发生位置：[T-1]*30+【[4±1] [6±1] [12±1] [18±1] [30±1] 】 T=1
　　其余质数月孪生质数发生位置：[T-1]*30+【[0±1] [12±1] [18±1] [30±1] 】 T=N是自然数代表质数月