BZOJ 2190: [SDOI2008]仪仗队【欧拉筛】

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本文解析了SDOI2008竞赛中的仪仗队问题，介绍了如何利用欧拉函数求解仪仗队整齐时C君能看到的学生人数。通过观察和数学推导，给出了高效的算法实现。

2190: [SDOI2008]仪仗队

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 259 MB

Description

　　作为体育委员，C君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的N * N的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。

现在，C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。

Input

　　共一个数N。

Output

　　共一个数，即C君应看到的学生人数。

Sample Input

4

Sample Output

9

HINT

【数据规模和约定】　　对于 100% 的数据，1 ≤ N ≤ 40000

题解

我们可以看图，猜测答案，设C君在(0,0)，我们发现除了(2,0)(0,2)，其他全部互质，所以答案就是 $\Big(\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=1}^{n-1} gcd(i,j)==1\Big)+2$ ，我们可以先计算一半，然后加上2减去1，因为(1,1)被算了两次。
像这样的题目，用欧拉函数十分优秀，否则 $O(n^2)$ 可能过不了。

代码如下

#include<cstdio>
#define MAXN 40005
using namespace std;
int n,ans,p[MAXN],phi[MAXN];
bool vis[MAXN];
void make_p(){
    vis[0]=vis[1]=1;phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=MAXN;i++){
        if(!vis[i]){p[++p[0]]=i;phi[i]=i-1;}
        for(int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=MAXN;j++){
            vis[p[j]*i]=1;
            if(i%p[j]==0){phi[p[j]*i]=phi[i]*p[j];break;}
            phi[p[j]*i]=phi[i]*(p[j]-1);
        }
    }
}
int main(){
    make_p();
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;i++) ans+=phi[i];
    printf("%d\n",ans*2+1);
    return 0;
}