多项式：求逆、取模、多点求值、多点插值

最新推荐文章于 2024-06-05 08:32:37 发布

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#多项式 #模板与知识点

本文详细介绍了多项式的多项式乘法（包括FFT和NTT）、求逆、除法与取模、多点求值以及多点插值的方法。内容涵盖多项式逆元的计算、多项式除法的实现、拉格朗日插值公式等，旨在帮助读者深入理解多项式运算。

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若多项式 $F (x)$ 的最高次数为 $n$ ，则 $deg⁡F=n\deg F =n$
设 $F_R(x)$ 表示将 $F (x)$ 的系数反转，即 $F_R(x)$ 的第 $i$ 次项系数为 $F (x)$ 的第 $n - i$ 次项系数。

多项式乘法（FFT（实数意义下）&NTT（模意义下））

FFT的板子

const double PI=acos(-1);
struct cpx
{
   
   
	double r,i;
	cpx(double r=0.0,double i=0.0):r(r),i(i){
   
   }
	cpx operator *(const cpx &a)const
	{
   
   
		return cpx(r*a.r-i*a.i,r*a.i+i*a.r);
	}
	cpx operator +(const cpx &a)const
	{
   
   
		return cpx(r+a.r,i+a.i);
	}
	cpx operator -(const cpx &a)const
	{
   
   
		return cpx(r-a.r,i-a.i);
	}
};
void FFT(cpx *A,int n,int typ)
{
   
   
	for(int i=1,j=0;i<n-1;i++)
	{
   
   
		for(int s=n;j^=s>>=1,~j&s;);
		if(i<j) swap(A[i],A[j]);
	}
	for(int i=1;i<n;i<<=1)
	{
   
   
		cpx w1(cos(PI/i),typ*sin(PI/i));
		cpx w(1,0);
		for(int j=0;j<i;j++,w=w*w1)
			for(int l=j,r=l+i;l<n;l+=(i<<1),r=l+i)
			{
   
   
				cpx tmp=w*A[r];
				A[r]=A[l]-tmp;
				A[l]=A[l]+tmp;
			}
	}
	if(typ==-1)
	{
   
   
		for(int i=0;i<n;i++) A[i].r/=n;
	}
}

NTT的板子

#define MO 998244353
#define G 3
int PowMod(int a,int b)
{
   
   
	int ret=1;
	while(b)
	{
   
   
		if(b&1) ret=1LL*a*ret%MO;
		a=1LL*a*a%MO;
		b>>=1;
	}
	return ret;
}
int W[30][2];
void NTTPre()
{
   
   
	for(int i=1,t=0;i<MAXN;i<<=1,t++)
	{
   
   
		W[t][0]=PowMod(G,(MO-1)/(i<<1));
		W[t][1]=PowMod(W[t][0],MO-2);
	}
}
void NTT(int *A,int n,int typ)
{
   
   
	for(int i=1,j=0;i<n-1;i++)
	{
   
   
		for(int s=n;j^=s>>=1,~j&s;);
		if(i<j) swap(A[i],A[j]);
	}
	for(int i=1,t=0;i<n;i<<=1,t++)
	{
   
   
		int w1=W[t][typ],w=1;
		for(int j=0;j<i;j++,w=1LL*w*w1%MO)
			for(int l=j,r=l+i;l<n;l+=(i<<1),r=l+i)
			{
   
   
				int tmp=1LL*w*A[r]%MO;
				A[r]=(A[l]-tmp+MO)%MO;
				A[l]=(A[l]+tmp)%MO;
			}
	}
	if(typ)
	{
   
   
		int inv=PowMod(n,MO-2);
		for(int i=0;i<n;i++)
			A[i]=1LL*A[i]*inv%MO;
	}
}

多项式求逆

对于一个多项式 $A (x)$ ，如果存在 $B (x)$ 满足 $deg⁡B≤deg⁡A\deg B\le \deg A$ 并且 $A(x)B(x)≡1mod  xnA(x)B(x)\equiv 1\mod x^n$ 。
即 $B(x)≡A−1(x)mod  xnB(x)\equiv A^{-1}(x)\mod x^n$ ,称 $B (x)$ 为 $A (x)$ 在 $mod  xn\mod x^n$ 的意义下的逆元。
如何求 $B (x)$ 呢？
假设已经求出 $B′(x)≡A−1(x)mod  x⌈n2⌉B'(x)\equiv A^{-1}(x)\mod x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}$
则 $B(x)−B′(x)≡0mod  x⌈n2⌉B(x)-B'(x)\equiv 0\mod x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}$
两边同时平方有： $B2(x)+B′2(x)−2B(x)B′(x)≡0mod  xnB^2(x)+B'^2(x)-2B(x)B'(x)\equiv 0\mod x^n$
两边同时乘 $A (x)$ 有： $B(x)+B′2(x)A(x)−2B′(x)≡0mod  xnB(x)+B'^2(x)A(x)-2B'(x)\equiv 0\mod x^n$
即 $B(x)≡2B′(x)−B′2(x)A(x)mod  xnB(x)\equiv 2B'(x)-B'^2(x)A(x)\mod x^n$
注意到平方的时候将模数也平方了，为什么模数也可以平方呢？
记 $F (x) = B (x) - B^{'} (x)$ ，则 $F^2(x)$ 在 $mod  xn\mod x^n$ 后从 $0$ 到 $n - 1$ 的每一项系数必然由