RMQ入门

最新推荐文章于 2024-01-04 21:56:05 发布

原创最新推荐文章于 2024-01-04 21:56:05 发布 · 192 阅读

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RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，这是一种在线算法，所谓在线算法，是指用户每次输入一个查询，便马上处理一个查询。RMQ算法一般用较长时间做预处理，时间复杂度为O(nlogn)，然后可以在O（1）的时间内处理每次查询。
下面我们从一个实际问题来解释RMQ

我们假设数组arr为：2，3，6，5，7，2，5

我们设二维数组dp[i][j]表示从第i位开始连续2^j个数中的最小值。例如dp[2][1]就表示从第二位数开始连续两个数的最小值（也就是从第二位数到第三位数的最小值），即3，6中的最小值，所以dp[2][1] = 3;

其实我们求 dp[i][j] 的时候可以把它分成两部分，第一部分是从 i 到 i + 2 ^( j-1 ) - 1 ，第二部分从 i + 2 ^( j-1 ) 到i + 2^j -1 ，为什么可以这么分呢？其实我们都知道二进制数前一个数是后一个的两倍，那么可以把 i ~ i + 2^j -1 这个区间通过2^(j-1) 分成相等的两部分，那么转移方程很容易就写出来了。（dp[i][0]就表示第i个数字本身）

dp[i][j] = min(dp [i][j - 1], dp [i + (1 << j - 1)][j - 1])
由此给出下列代码：

void rmq_init()
{
    for(int i=1;i<=N;i++)
        dp[i][0]=arr[i];//初始化
    for(int j=1;(1<<j)<=N;j++)
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=N;i++)
            dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<j-1)][j-1]);
}

这里需要注意一个循环变量的顺序，我们看到外层循环变量为j，内层循环变量为i，这是为什么呢？可以互换一下位置吗？

答案当然是不可以，我们要理解这个状态转移方程的意义，这个状态方程的含义是：先更新每两个元素中的最小值，然后通过每两个元素的最小值获得每4个元素中的最小值，依次类推更新所有长度的最小值。

而如果是i在外，j在内的话，我们更新的顺序就变成了从1开始的前1个元素，前2个元素，前4个元素，前8个元素。。。

当j等于3的时候dp[1][3] = min(min(ans[0],ans[1],ans[2],ans[3]),min(ans[4],ans[5],ans[6],ans[7])))的值，

但是我们根本没有计算min(ans[0],ans[1],ans[2],ans[3])和min(ans[4],ans[5],ans[6],ans[7])，所以这样的方法肯定是错误的。

为了避免这样的错误，一定要好好理解这个状态转移方程所代表的含义。
接下来我们来讲解RMQ的查询部分，假设我们需要查询区间[l ，r]中的最小值，令k = log2(r - l + 1); 则区间[l, r]的最小值RMQ[l,r] = min(dp[l][k], dp[r - (1 << k) + 1][k]);

但是为什么这样就可以保证是区间最小值了呢？

mn[l][k]维护的是[l, l + 2 ^ k - 1], mn[r - (1 << k) + 1][k]维护的是[r - 2 ^ k + 1, r] 。

那么只要我们保证r - 2 ^ k + 1 <= l + 2 ^ k - 1就能保证RMQ[l,r] = min(dp[l][k], dp[r - (1 << k) + 1][k])；

部分参考自：https://blog.youkuaiyun.com/qq_41311604/article/details/79900893

模板：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<map>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int maxn=1e5+5;
int a[maxn],dpmax[maxn][30],dpmin[maxn][30],n;
void rmq_init()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        dpmax[i][0]=a[i],dpmin[i][0]=a[i];
    for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
            dpmax[i][j]=max(dpmax[i][j-1],dpmax[i+(1<<j-1)][j-1]),dpmin[i][j]=min(dpmin[i][j-1],dpmin[i+(1<<j-1)][j-1]);
}
int rmq_querymin(int l,int r)
{
    int k=log2(r-l+1);
    return min(dpmin[l][k],dpmin[r-(1<<k)+1][k]);
}
int rmq_querymax(int l,int r)
{
    int k=log2(r-l+1);
    return max(dpmax[l][k],dpmax[r-(1<<k)+1][k]);
}
void solve(int a,int b)
{
    
}
int main()
{
    int q;
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    rmq_init();
    while(q--)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        solve(a,b);
    }
    return 0;
}