38、【排序】逆序对的数量（C/C++版）

题目描述

给定一个长度为 n的整数数列，请你计算数列中的逆序对的数量。

逆序对的定义如下：对于数列的第 i 个和第 j 个元素，如果满足 i<j 且 a[i]>a[j]，则其为一个逆序对；否则不是。

输入格式：

第一行包含整数 n，表示数列的长度。
第二行包含 n个整数，表示整个数列。

输出格式：

输出一个整数，表示逆序对的个数。

数据范围：

1≤n≤100000

输入样例：

6
2 3 4 5 6 1

输出样例：

5

思路分析

利用“分治”的方式，将序列进行分解为LA和LB，则逆序对数=LA中的逆序对数+LB中的逆序对数+LA中相对于LB中的逆序对数。

假设当LA和LB已为按非递减顺序的有序序列，从左至右开始查找，当查找到LB中的某个数x小于LA中的数y时，则可确定从LA中的y开始到LA的最后一个元素z，其所有数都比LB中的x大，此时便得到逆序数个数count = z - y + 1，以此类推，当完成LA和LB的所有查找后，便找到LA中相对于LB所产生的逆序对数。

因此采用归并排序算法

参考文章：
算法导论习题—求n个元素任何排列中逆序对的数量

AcWing 788. 逆序对的数量-要点

AcWing 788. 逆序对数量与递归与排序

算法实现

#include <stdio.h>

// 假设全部逆序则为n*n=(10^10)/2=5*10^9，使用int越界因此使用long long
typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
int tmp[N];


LL merge_sort(int q[], int l, int r){
    if(l >= r)      return 0;
    
    int mid = l + r >> 1;
    // 获取左侧序列和右侧序列逆序对数量之和
    LL res = merge_sort(q, l, mid) + merge_sort(q, mid + 1, r);
    
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while(i <= mid && j <= r){
    	// 第一个序列中的前i个均小于第二个数组，则无逆序对
        if(q[i] <= q[j])    tmp[k++] = q[i++];
        else{
        // 第二个数组的第j个小于第一个数组从下标i开始之后的所有元素
            tmp[k++] = q[j++];
            res += mid - i + 1;
        }                
    }
    while(i <= mid)         tmp[k++] = q[i++];
    while(j <= r)           tmp[k++] = q[j++];
    
    for(k = 0,i = l; i <= r; k++, i++)      q[i] = tmp[k];
    
    return res;
}

int main(){
    int n;      scanf("%d",&n);
    int q[N];   for(int i = 0; i < n; i++)      scanf("%d",&q[i]);
    LL res = merge_sort(q, 0 ,n-1);
    printf("%ld", res);
    return 0;
}

算法模板：
37、【排序】归并排序（C语言版）