线性代数之 实对称矩阵，正交对角化，二次型与正定矩阵

前言

终于快到矩阵分解了。在矩阵分解前，最后一个内容是实对称矩阵，二次型和正定矩阵。这三个概念与矩阵分解相关。

实对称矩阵

对于矩阵$A\in R^{n\times n}$，如果$A^T=A$，则称$A$为实对称矩阵。

实对称矩阵不同特征值的特征向量正交，n重特征值有n个线性无关的特征向量。因此实对称矩阵必然能够对角化。

实对称矩阵是$n\times n$矩阵能够正交对角化的充分必要条件。

正交对角化

如果存在一个正交矩阵$Q$，使得方阵$A=Q\Lambda Q^{-}1=Q\Lambda Q^T$能够对角化，称为正交对角化。

能够正交对角化的矩阵都是对称矩阵。
证明：
$$\begin{gathered} A=Q\Lambda Q^T \\ {A}^T=Q{\Lambda }^T{Q}^T=Q\Lambda Q^T=A \end{gathered}$$

二次型

$A$是实对称矩阵，将一个变量满足$f(x)=x^{T}Ax$函数称为二次型。

对于$f(x)=x^{T}Ax$，替换变量$x=Py,f(x)=$