《机器人操作的数学导论》第二章习题之12

最新推荐文章于 2024-08-31 15:55:48 发布

犹有傲霜枝

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文章标签：机器人操作的数学导论课后习题

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_41009742/article/details/91970012

本文详细解析了《机器人操作的数学导论》中的一道习题，通过级数展开和矩阵运算，推导出了旋转矩阵指数映射的公式，展示了如何利用ω向量的幂次项来表达指数映射。

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《机器人操作的数学导论》第二章习题之12

题目如下
在这里插入图片描述
易知，上式左侧可级数展开为
$(1)eω^θ=∑k=0∞θkk!ω^k \begin{aligned} e^{\hat{\omega}\theta}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\theta^k}{k!}\hat{\omega}^k \tag{1} \end{aligned}$
又有：
$(2)ω^0=0ω^1=ω^ω^2=ωωT−∣∣ω∣∣2I=ω^2ω^3=−∣∣ω∣∣2ω^ω^4=−∣∣ω∣∣2ω^2ω^5=∣∣ω∣∣4ω^ω^6=∣∣ω∣∣4ω^2 \begin{aligned} \hat{\omega}^0&=0\\ \hat{\omega}^1&=\hat{\omega}\\ \hat{\omega}^2&=\omega\omega^T-||\omega||^2I=\hat{\omega}^2\\ \hat{\omega}^3&=-||\omega||^2\hat{\omega}\\ \hat{\omega}^4&=-||\omega||^2\hat{\omega}^2\\ \hat{\omega}^5&=||\omega||^4\hat{\omega}\\ \hat{\omega}^6&=||\omega||^4\hat{\omega}^2\\ \end{aligned}\tag{2}$
由上几式递推得到：
$(3)对于k=1,2,3,⋯ ,有：ω^2k=(−1)k−1∣∣ω∣∣2k−2ω^2ω^2k−1=(−1)k−1∣∣ω∣∣2k−2ω^ \begin{aligned} 对于k&=1,2,3,\cdots,有：\\ \hat{\omega}^{2k}&=(-1)^{k-1}||\omega||^{2k-2}\hat{\omega}^2\\ \hat{\omega}^{2k-1}&=(-1)^{k-1}||\omega||^{2k-2}\hat{\omega} \tag{3} \end{aligned}$
将式(3)带入(1)中得：
$eω^θ=∑k=0∞θkk!ω^k=I+(∑k=1∞(−1)k−1∣∣ω∣∣2k−2θ2k−1(2k−1)!)ω^+(∑k=1∞(−1)k−1∣∣ω∣∣2k−2θ2k(2k)!)ω^2=I+(∑k=1∞(−1)k−1∣∣ω∣∣2k−1θ2k−1(2k−1)!)ω^∣∣ω∣∣+(∑k=1∞(−1)k−1∣∣ω∣∣2kθ2k(2k)!)ω^2∣∣ω∣∣2=I+ω^∣∣ω∣∣sin⁡(∣∣ω∣∣θ)+ω^2∣∣ω∣∣2(1−cos⁡(∣∣ω∣∣θ)) \begin{aligned} e^{\hat{\omega}\theta}&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\theta^k}{k!}\hat{\omega}^k\\ &=I+(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}||\omega||^{2k-2}\theta^{2k-1}}{(2k-1)!})\hat{\omega}+(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}||\omega||^{2k-2}\theta^{2k}}{(2k)!})\hat{\omega}^2\\ &=I+(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}||\omega||^{2k-1}\theta^{2k-1}}{(2k-1)!})\frac{\hat{\omega}}{||\omega||}+(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}||\omega||^{2k}\theta^{2k}}{(2k)!})\frac{\hat{\omega}^2}{||\omega||^2}\\ &=I+\frac{\hat{\omega}}{||\omega||}\sin(||\omega||\theta)+\frac{\hat{\omega}^2}{||\omega||^2}(1-\cos(||\omega||\theta)) \end{aligned}$
得证。