标准正态分布k阶原点矩公式

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#k阶原点矩 #标准正态分布 #E(X^4)

博客围绕标准正态分布k阶原点矩公式展开。作者在计算χ2分布方差时遇到标准正态分布四阶原点矩，因直接计算复杂度高，通过推导得出k阶原点矩递推关系E(Xk)=(k - 1)E(Xk - 2)，并分别给出k为偶数和奇数时的结果。

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标准正态分布k阶原点矩公式

今天在看 $χ2\chi^2$ 分布，计算其方差时，遇到了标准正态分布的四阶原点矩。书上直接写 $E(X_i^4)=3$ ，很好奇。设 $Xi∼N(0,1)X_i\sim\mathcal{N}(0,1)$ 想根据定义计算：
$E(Xi4)=∫−∞+∞x412πe−x22dxE(X_i^4)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^4\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$
计算起来复杂度有点高，K阶就更不敢想。
想着估计结果是 $k$ 的递推关系式。所有直接计算：
$\begin{aligned} E(X^k) &= \int_{-\infty}^{+\infty}x^k\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx \\ & = \frac{1}{k+1}x^{k+1}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} |_{-\infty}^{+\infty} + \frac{1}{k+1}\int_{-\infty}^{+\infty}x^{k+2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx \\ & = 0 + \frac{1}{k+1}E(X^{k+2}) \end{aligned}$
从上式看，结果已经很明显了，其递推关系为：
$E(Xk)=(k−1)E(Xk−2)，k=2,3,4⋯E(X^k) = (k-1)E(X^{k-2})，k=2,3,4\cdots$
其中:
$E(X0)=∫−∞+∞x012πe−x22dx=1E(X^0)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^0\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=1$
$E(X^1)=0$
所以，当 $k = 2 i$ 为偶数时：
$\begin{aligned} E(X^k) &= (k-1)(k-3)\cdots3\times1\times E(X^0) \\ &=\prod_{i=1}^{k/2}(2i-1) \end{aligned}$
当 $k = 2 i - 1$ 为奇数时：
$\begin{aligned} E(X^k) &= (k-1)(k-3)\cdots3\times1\times E(X^1) \\ &=0 \end{aligned}$
综上有：
$E(X^k) = \left \{ \begin{array}{ll} \prod_{i=1}^{k/2}(2i-1) & k=2i, i=1,2,3\cdots \\ & \\ 0 & k=2i-1 \end{array} \right.$