泊松分布，正态分布，指数分布特征函数推导

泊松分布特征函数推导

设$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，则其特征函数为：
$$\begin{array}{rl}g(t)& =E(e^{itX})\\ & =\sum _{x=0}^{\infty }{e}^{itx}\cdot e^{-\lambda }\cdot \frac{{\lambda }^x}{x!}\\ & =e^{-\lambda }\cdot \sum _{x=0}^{\infty }\frac{(\lambda \cdot e^{it}{)}^x}{x!}\\ & =e^{-\lambda }\cdot e^{\lambda \cdot e^{it}}\\ & =e^{\lambda (e^{it}-1)}\end{array}$$

正态分布特征函数推导

设$X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$，则其特征函数为：
g(t)=E(eitX)=∫−∞+∞eitx⋅12πσ⋅exp{−(x−μ)22σ2}dx=12πσ∫−∞+∞exp{−[x−(μ−σ2it)]2−2μσ2it−σ4i2t22σ2}dx=eiμt−12σ2t2∫−∞+∞12πσexp{−[u−(μ−σ2it)]22σ2}du=eiμt−12σ2t2 \begin{aligned} g(t) &= E(e^{itX}) \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\cdot exp\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\}dx\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{+\infty}exp\{-\frac{[x-(\mu-\sigma^2it)]^2-2\mu\sigma^2it-\sigma^4i^2t^2}{2\sigma^2}\}dx\\ &=e^{i\mu t-\frac{1}{2}\sigma^2t^2}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\{-\frac{[u-(\mu-\sigma^2it)]^2}{2\sigma^2}\}du \\ &=e^{i\mu t-\frac{1}{2}\sigma^2t^2} \end{aligned} g(t)​=E(eitX)=∫−∞+∞​eitx⋅2π​σ1​⋅exp{−2σ2(x−μ)2​}dx=2π​σ1​∫−∞+∞​exp{−2σ2[x−(μ−σ2it)]2−2μσ2it−σ4i2t2​}dx=eiμt−21​σ2t2∫−∞+∞​2π​σ1​exp{−2σ2[u−(μ−σ2it)]2​}du=eiμt−21​σ2t2​
其中∫−∞+∞12πσexp{−[u−(μ−σ2it)]22σ2}du=1\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\{-\frac{[u-(\mu-\sigma^2it)]^2}{2\sigma^2}\}du=1∫−∞+∞​2π​σ1​exp{−2σ2[u−(μ−σ2it)]2​}du=1。因为对于该式，有$U\sim \mathcal{N}(\mu -{\sigma }^{2}it),{\sigma }^2)$

指数分布的特征函数推导

设$X$服从参数为$\lambda$的指数分布，则其特征函数为：
$$\begin{array}{rl}g(t)& =E(e^{itX})\\ & ={\int }_{-\infty }^0{e}^{itx}\cdot 0dx+{\int }_0^{+\infty }{e}^{itx}\cdot \lambda \cdot e^{-\lambda x}dx\\ & =0+\lambda \cdot \frac{1}{it-\lambda }{e}^{(it-\lambda )x}{|}_0^{+\infty }\\ & =(\frac{it}{\lambda }-1{)}^{-1}[0-1]\\ & =(1-\frac{it}{\lambda }{)}^{-1}\end{array}$$
对于$|e^{(it-\lambda )x}|=|e^{itx}|\cdot e^{-\lambda x}=e^{-\lambda x}$，所以对$+\infty$时取$0$。