有关欧拉函数的一个证明(POJ 2480)

f(n) = Σgcd(i,n)，求f(n)

∵Φ(n) = φ(p1^a1)*φ(p2^a2)*...*φ(pk^ak)

Φ(p^r)=p^r - p^(r-1)

∴f(p^r)  = a*(p^r-p^(r-1))+p^r

证明最后这个式子

对于f(p^r)，有r+1个因子，分别是p^0,p^1...p^r

f(p^r) = Σ(x*φ(p^r/x))

 = 1 *φ(p^r)+ p^1*φ(p^(r-1))*...*p^rφ(p^0)

 = p^r - p^(r-1) + p^1*(p^(r-1)-p^(r-2))+...+p^r

 = p^r - p^(r-1)+ p^r - p^(r-1) (一共r个) + p*r

 = r*(p^r-p^(r-1))+p^r

证毕

 

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