“欧拉函数详解”附：证明

$1.2.1$

钦定无需证明

---

$1.2.2$

显然 $[1,p)\cap \mathbb{Z}$ 中所有数都与 $p$ 互质，所以 $\phi (p)=p-1$

---

$1.2.3$

$p^k$ 的质因子只有 $p$ ，所有与 $p^k$ 不互质的数一定可以被 $p$ 整除。
在小于 $p^k$ 的数中，能被 $p$ 整除的数有 $p,2p,\dots ,(p^{k-1}-1)\times p$ ，共 $p^{k-1}-1$ 个。
所以 $[1,p^k)\cap \mathbb{Z}$ 中与 $p^k$ 互质的数的个数就是 $(p^k-1)-(p^{k-1}-1)=p^k-p^{k-1}$ ，也就是 $\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$

---

$1.2.4$

设 $X$ 为 $M$ 的简化剩余系，其中的元素用 $x_i$ 来表示，元素个数为 $\phi (M)$ ；
设 $Y$ 为 $N$ 的简化剩余系，其中的元素用 $y_i$ 来表示，元素个数为 $\phi (N)$ 。
我们只需证明下面三点即可：
$\mathrm{A}:({\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}\mathrm{N}+{\mathrm{y}}_{\mathrm{i}}\mathrm{M},\mathrm{M}\mathrm{N})=1$
$\mathrm{B}:{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}\mathrm{N}+{\mathrm{y}}_{\mathrm{i}}\mathrm{M}代表的元素两两不在同一剩余系内$
$\mathrm{C}:{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}\mathrm{N}+{\mathrm{y}}_{\mathrm{i}}\mathrm{M}能代表\mathrm{M}\mathrm{N}的简化剩余系内的所有元素$

• $证明\mathrm{A}$ ：
  $(x_i,M)=1\Rightarrow (x_{i}N,M)=1\Rightarrow (x_{i}N+y_{i}M,M)=1$
  $(y_i,N)=1\Rightarrow (y_i$