数学基础1

一、数的分类

1.有理数

（1）概念

• 整数：$...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...$。
• 分数：$\frac{1}{3},\frac{8}{5},1.37,...$

有理数：整数和分数统称为有理数。

• 相反数：只有符号不同的数成为相反数。
• 绝对值：数轴上表示数 $a$ 与原点的距离叫做 $a$ 的绝对值，记作 $|a|$。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。

（2）运算法则

• 加法（减法）运算：
  • 同号两数相加，取相同符号，绝对值相加
  • 异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
  • 减去一个数等于加这个数的相反数
• 乘法（除法）运算：
  • 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
  • 除以一个数等于乘这个数的倒数
• 乘方运算：
  • 求 $n$ 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 $a^n$ 中，$a$ 叫做底数，$n$ 叫做指数。
  • 优先级高于乘法

（3）科学计数法

把一个大于 $10$ 的数表示成 $a\times 10^n$ 的形式$(1\le a\le 10,n为正整数)$，叫做科学计数法。

2.实数

（1）平方根

• 一个正数 $x$ 的平方等于 $a$，即 $x^2=a$，那么这个整数 $x$ 叫做 $a$ 的算术平方根。$a$ 的算术平方根记为 $\sqrt{a}$，读作“根号 $a$”，$a$ 叫做被开方数。
• 实际操作不难发现很多整数的算术平方根是一个无限不循环小数。
• 若一个数的平方等于 $a$，那么这个数叫做 $a$ 的平方根或二次方根。求一个数的平方根的运算叫做开平方。
• 立方根：一个数的立方等于 $a$，那么这个数叫做 $a$ 的立方根或三次方根。记作 $\sqrt[3]{a}$。
• $\sqrt[n]{a}$ 被称为根式，这里 $n$ 被称为根指数，$a$ 被称为被开方数。
• 运算：
  • 乘除法：$\sqrt{x}\cdot \sqrt{y}=\sqrt{xy}$
  • 加减法：先化简为最简根式再相加减，$3\sqrt{2}+\sqrt{5}0=8\sqrt{2}$

（2）无理数

• 小数：所有的分数都可以表示为小数。分为有限小数、无限循环小数、无限不循环小数，前两者属于有理数，后者叫做无理数。
• 无理数：也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、$\pi$ 和 $e$ 等。
• 实数：有理数和无理数统称为实数。实数集用 $R$ 表示。

（3）对数

幂指数 $b$ 称为以 $a$ 为底 $N$ 的对数，KaTeX parse error: Undefined control sequence: \and at position 14: b=\log_aN,a>0\̲a̲n̲d̲ ̲N>0。

• $a$ 称为对数的底数，$N$ 称为对数的真数
• 自然对数 $\ln$；以 $10$ 为底的对数 $\lg$
• ${\log }_{a}x+{\log }_{a}y={\log }_{a}xy$
• ${\log }_{a}x-{\log }_{a}y={\log }_a\frac{x}{y}$
• ${\log }_a(x^y)=y{\log }_{a}x$
• 换底公式：${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

3.虚数

• 虚数：在数学中，虚数就是形如 $a+bi$ 的数，其中 $a,b$ 是实数，且 $b\ne 0,i^2=-1$。虚数 $a+bi$ 的实部 $a$ 可对应平面上的横轴，虚部 $b$ 可对应平面上的纵轴，这样虚数 $a+bi$ 可与平面内的点$(a,b)$对应。
• 复数：实数和虚数统称为复数。

二、多项式运算

1.单项式

• 概念：形如 $100t,0.8p,mn,a^{2}h,-n$ 这样被表示为数或字母的积的式子被我们称为单项式。
• 系数：单项式中的数字因数被叫做单项式的系数。一般要写在字母的前面
• 次数：所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数

2.多项式

• 概念：多个单项式的和被叫做多项式。
• 项：每个单项式被称为多项式的项。
• 常数项：不含字母的项叫做常数项。
• 次数：次数最高项的次数叫做这个多项式的次数。

3.运算

• 同类项：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项。
• 同类项之和的所得项，系数为各同类项系数之和，字母和指数不变。
• 单项式乘法：系数、同底数幂分别相乘，不同字母连同它的指数直接保留
  • 同底数幂相乘：底数不变，指数相加，$a^x\cdot a^y=a^{(x+y)}$
  • 同底数幂相除：底数不变，指数相减，$a^x/a^y=a^{(xy)}$
  • 幂的乘方：底数不变，指数相乘，$(a^x{)}^y=a^{xy}$
  • 积的乘方：将积的每一个因式分别乘方再相乘
• 多项式相乘：按照乘法分配律进行
• 分式约分规则与分数近似，不再赘述

4.因式分解

定义：把一个多项式表示为多个整式的乘积。

通常的分解方式：
$$\begin{gathered} ax+bx=(a+b)x \\ ac{x}^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d) \end{gathered}$$

三、方程与不等式

1.基本规则

不等式：用$>,<,\le ,\ge ,\ne$等符号来连接的式子叫做不等式。例如：$\frac{2}{3}x>50$

• 等式两边加（乘）同一个数（式子），结果仍相等。

• 不等式两边加同一个数（式子），不等式符号不变。若乘一个负数（负式子），不等式符号方向变化。

将整式从等式（不等式）的一侧移到另一侧需要变号。所以解不等式和解方程的流程完全一致。只是等式有解，而不等式的解构成一个解集，如 $x>75$ 就是上面不等式的解集。

2.二元一次方程组

一个方程包含两个未知数的方程称为二元一次方程。两个二元一次方程组合在一起被称为二元一次方程组。

使得二元一次方程等式成立的被称为二元一次方程的解。方程组的公共解被称为二元一次方程组的解。

求解的方式被我们称之为消元。在方程组中的某一个方程中，把一个未知数当作已知来表示另一个未知数，带入到另一个方程中，即可求解。例如下面的流程：
$$\{\begin{array}{l}x-y=3\\ 3x-8y=14\end{array}\to \{\begin{array}{l}x=y+3\\ 3x-8y=14\end{array}\to \{\begin{array}{l}x=y+3\\ 3(y+3)-8y=14\end{array}\to$$

$$\{\begin{array}{l}x=y+3\\ -5y=5\end{array}\to \{\begin{array}{l}x=y+3\\ y=-1\end{array}\to \{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1\end{array}$$

也可以采用别的方式，只要能够创造出一元方程即可。
$$\{\begin{array}{l}x-y=3\\ 3x-8y=14\end{array}\to \{\begin{array}{l}3x-3y=9\\ 3x-8y=14\end{array}\to \{\begin{array}{l}5y=-5\\ 3x-8y=14\end{array}\to$$

$$\{\begin{array}{l}5y=-5\\ 3x-8y=14\end{array}\to \{\begin{array}{l}y=-1\\ 3x-8y=14\end{array}\to \{\begin{array}{l}y=-1\\ x=2\end{array}$$

至于三元、四元，本质上就没有什么区别了。但更多元的方程将有更高级的解法，毕竟这样实在太过麻烦，线性代数将是一个很好的工具。

3.一元一次不等式组

解出每一个不等式，取它们的公共部分即为一元一次不等式组的解集。

绝对值不等式可以拆分成不等式组

4.分式方程

只需要注意分母不为 $0$，其他内容与普通方程无异。形如：
$$\frac{5}{x+3}=\frac{6}{x-5}$$
要保证分母不为 $0$，则必须有 $x\ne 3,5$。如果解出的解正好有这两个数之一，那么我们称其为增根。

5.一元二次方程

（1）定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 $2$，一般形式为：$a{x}^2+bx+c=0$。

（2）求解

• 我们可以对一元二次方程进行配方：
  $$\begin{gathered} a{x}^2+bx+c=0 \\ a(x+\frac{b}{2a}{)}^2+c-\frac{b^2}{4a}=0 \\ a(x+\frac{b}{2a}{)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a} \\ (x+\frac{b}{2a}{)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \end{gathered}$$
  显然，因为左边是平方运算，右边不可能小于 $0$，否则就会无解，这就是判别式的来历。
  $$\begin{gathered} x=\frac{-b}{2a}\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \\ =\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{gathered}$$

• 判别式：$\Delta =b^2-4ac$ 被称为 $a{x}^2+bx+c=0$ 的判别式。当 $\Delta >0$ 时，方程有两个解；当 $\Delta =0$ 时，方程有一个解；当 $\Delta <0$ 时，方程无解。

• 求根公式：$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1{x}_2=\frac{c}{a}$。

• 除了求根公式，我们还可以使用配方和因式分解的方式来求解一元二次方程的根。

四、平面直角坐标系

平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴称为 $x$ 轴，取向右为正方向；竖直的数轴称为 $y$ 轴，取向上为正方向。

平面上的点可以用一个有序数对来唯一表示。对于点 $A$ 来说，有坐标 $(a,b)$ 来表示。它表示横坐标是 $a$，纵坐标是 $b$。

平面被两条坐标轴分成了四个部分，我们称之为象限，从右上逆时针依次是第一、第二、第三、第四象限。

五、函数（一元函数）

1.基本信息

• 定义：给定两个非空实数集 $A,B$，以及对应关系 $f$，如果对于集合 $A$ 中的每一个实数 $x$，在集合 $B$ 中都有唯一确定的实数 $y$ 对应，称 $f$ 为定义在集合 $A$ 上的一个函数。 记作 $y=f(x),x\in A$。

• $A$ 被称为定义域， { y ∈ B ∣ y = f ( x ) , x ∈ A } \{y\in B|y=f(x),x\in A\} {y∈B∣y=f(x),x∈A} 称为值域

• 解析式：如 $y=5x+3$ 这样表示函数与自变量的表达式被称为函数的解析式。

• 函数图像：如果把自变量和函数值的每对对应值当作一组横纵坐标，那么平面直角坐标系中所有的点组成的图形就被我们称为函数的图像。

• 如果对于任意 $x_1,x_2\in I$，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)<f(x_2)$，则称 $y=f(x)$ 在 $I$ 上是增函数，也称在 $I$ 上单调递增

• 如果对于任意 $x_1,x_2\in I$，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)<f(x_2)$，则称 $y=f(x)$ 在 $I$ 上是减函数，也称在 $I$ 上单调递减

• 一般地，如果对于函数 $f(x)$ 的定义域内任意一个 $x$，都有 $f(-x)=f(x)$，那么函数 $f(x)$ 就叫偶函数。关于 $y$ 轴对称。

• 一般地，如果对于函数 $f(x)$ 的定义域内任意一个 $x$，都有 $f(-x)=-f(x)$，那么函数 $f(x)$ 就叫奇函数。关于原点对称。

2.函数类型

• 正比例函数：$y=kx(k\ne 0)$。

• 一次函数：$y=kx+b(k\ne 0)$，正比例函数是特殊的一次函数。

  • $k>0$，函数单调递增；$k<0$，函数单调递减。$|k|$ 越大，递增递减速度越快。
  • $b$ 为函数与 $y$ 轴的交点

• 二次函数：$y=a{x}^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a}{)}^2+c-\frac{b^2}{4a}(a\ne 0)$。

  • $a>0$ 时开口向上，函数先减后增，$c-\frac{b^2}{4a}$ 为函数的最小值（极小值）；$a<0$ 时开口向下，函数先增后减，$c-\frac{b^2}{4a}$ 为函数的最大值（极大值）
  • $\frac{-b}{2a}>0$ 时，图像的对称轴在 $x$ 轴的正半轴；$\frac{-b}{2a}<0$ 时，图像的对称轴在 $x$ 轴的负半轴
  • $c>0$ 时与 $y$ 轴的交点在 $y$ 轴的正半轴；$c<0$ 时与 $y$ 轴的交点在 $y$ 轴的负半轴

• 反比例函数：$y=\frac{k}{x},k\ne 0$

  • $k>0$，函数在一三象限，函数递减；$k<0$，函数在二四象限，函数递增
  • $|k|$ 越大，距离坐标轴越远

• 指数函数：KaTeX parse error: Undefined control sequence: \and at position 10: y=a^x,a>0\̲a̲n̲d̲ ̲a\neq0

  • $a>1$ 函数递增；$a<1$ 函数递减
  • 函数必定经过 $(0,1)$ 点

• 对数函数：KaTeX parse error: Undefined control sequence: \and at position 14: y=\log_ax,a>0\̲a̲n̲d̲ ̲x>0。

  • $a>1$ 函数递增；$a<1$ 函数递减
  • 函数必定经过 $(1,0)$ 点

• 幂函数：$y=x^a$

六、离散数学基础

1.集合

• 把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合（集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素

• 如果 $a$ 是集合 $A$ 的元素，就记作 $a\in A$；如果 $a$ 不是集合 $A$ 的元素，就记作 $a\notin A$；

• 表达方式为 A = { x ∣ p ( x ) } A=\{x|p(x)\} A={x∣p(x)}，$p(x)$ 称为集合 $A$ 的性质（可能不止一个），例如： A = { x ∣ x > 3 } A=\{x|x>3\} A={x∣x>3}

• 把不含任何元素的集合称为空集，记住 $\varnothing$

• 如果两个集合 $A,B$ 中的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作 $A=B$

• 含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集

• 自然数集 $N$；正整数集 $N^{+}$ 或 $N^{\ast }$；整数集 $Z$；有理数集 $Q$；实数集 $R$

2.区间

• 集合 { x ∣ a ≤ x ≤ b } \{x|a\leq x\leq b\} {x∣a≤x≤b} 可简写为 $[a,b]$，称为闭区间
• 集合 { x ∣ a < x < b } \{x|a< x< b\} {x∣a<x<b} 可简写为 $(a,b)$，称为开区间
• 集合 { x ∣ a < x ≤ b } \{x|a< x\leq b\} {x∣a<x≤b} 可简写为 $(a,b]$，称为左开右闭区间
• 集合 { x ∣ a ≤ x < b } \{x|a\leq x< b\} {x∣a≤x<b} 可简写为 $[a,b)$，称为左闭右开区间

3.关系与运算

• 若集合 $A$ 的任一元素都是集合 $B$ 的元素，则称集合 $A$ 是集合 $B$ 的子集，记为 $A\subseteq B$ 或 $B\supseteq A$，也可以称为包含
• 如果 $B$ 中至少有一个元素不属于 $A$，则称 $A$ 为 $B$ 的真子集。注意，子集中包含空集
• 由既属于 $A$ 又属于 $B$ 的所有元素组成的集合称为 $A$ 与 $B$ 的交集，记作 $A\cap B$
• 由 $A$ 和 $B$ 的所有元素组成的集合称为 $A$ 与 $B$ 的并集，记作 $A\cup B$
• 如果要研究的集合都是某一给定集合的子集，则称这个集合为全集，用 $U$ 表示
• 如果 $A$ 是 $U$ 的一个子集，则属于 $U$ 但不属于 $A$ 的元素组成的集合称为补集，记作${\mathcal{C}}_{U}A$

4.逻辑用语

• 可进行真假判断的陈述句被称为命题，判断为真的为真命题，判断为假的称为假命题

• 用符号 $\forall$ 表示任意，如 $\forall x\in M$ 表示任意 $x$ 属于集合 $M$，称为全称量词。

• 用符号 $\exists x\in M$ 表示存在，如 $\exists x\in M$ 表示存在 $x$ 属于集合 $M$，称为存在量词。

• $\wedge$ 表示要求两个条件同时成立，$\vee$ 表示两个条件任一成立

• 若存在命题 $p$，命题 $p$ 的否定记为 $\neg p$。例如 $p:\exists x\in Z,x\in N$，则 $\neg p:\forall x\in Z,x\notin N$

• $p\Rightarrow q$，则称 $p$ 是 $q$ 的充分条件，$q$ 是 $p$ 的必要条件

• $p\Rightarrow q\wedge q\nRightarrow p$，则称 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件

• $p\nRightarrow q\wedge q\Rightarrow p$，则称 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件

• $p\Rightarrow q\wedge q\Rightarrow p$，则称 $p$ 是 $q$ 的充分必要条件，简称充要条件