欧拉函数与欧拉定理

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#欧拉函数与欧拉定理

欧拉函数

定义

$ϕ (x)$ 表示从 $1, 2, 3, . . ., x$ 中和 $x$ 互质的数的数量

公式

$ϕ(x)=x∗∏i=1m(1−1pi)ϕ(x)=x*\prod_{i=1}^{m}(1-\frac{1}{p_{i}})$

其中 $p_{i}$ 是 $x$ 的质因子，且两两不同

证明：

$ϕ (1) = 1$
若 $x$ 是素数，则 $ϕ (x) = x - 1$
若 $p$ 是素数，则 $ϕ(pk)=pk−1∗(p−1)=pk−pk−1=pk∗(1−1p)ϕ(p^{k})=p^{k-1}*(p-1)=p^{k}-p^{k-1}=p^{k}*(1-\frac{1}{p})$
若 $a ， b$ 互质，则 $ϕ (a * b) = ϕ (a) * ϕ (b)$
- 这条结论的证明需要用到中国剩余定理，如果 $a$ 与 $p 1$ 互质 $(a < p 1)$ ， $b$ 与 $p 2$ 互质 $(b < p 2)$ ， $c$ 与 $p 1, p 2$ 互质 $(c < p 1 * p 2)$ ，则c与数对 $(a, b)$ 是一一对应关系。由于a的值有 $ϕ (p 1)$ 种可能，b的值有 $ϕ (p 2)$ 种可能，则数对 $(a, b)$ 有 $ϕ (p 1) * ϕ (p 2)$ 种可能，而c的值有 $ϕ (p 1 * p 2)$ 种可能，所以 $ϕ (p 1 * p 2)$ 就等于 $ϕ (p 1) ϕ (p 2)$ 。

设 $x =p {_{1}}^{a_{1}}*p {_{2}}^{a_{2}}*...*p {_{k}}^{a_{k}}$

由上述结论,可得

$ϕ(x)=ϕ(p {_{1}}^{a_{1}})*ϕ(p {_{2}}^{a_{2}})*...*ϕ(p {_{k}}^{a_{k}})$

${_{1}}^{a_{1}}*p {_{2}}^{a_{2}}*...*p {_{k}}^{a_{k}}*((1-\frac{1}{p_{1}}))*((1-\frac{1}{p_{2}}))*...*((1-\frac{1}{p_{k}}))$

$ϕ(x)=x∗∏i=1m(1−1pi)ϕ(x)=x*\prod_{i=1}^{m}(1-\frac{1}{p_{i}})$

参考博客：https://blog.youkuaiyun.com/wrwhahah/article/details/82704053

求解

从这个公式可以得到两个得到 $ϕ (x)$ 的方法

暴力枚举质因子，时间复杂度： $\sqrt{x}$ $)$

int phi(int x){
    int sum=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if(x%i)
            continue;
        sum=sum/i*(i-1);
        while(x%i==0)
            x/=i;
    }
    if(x!=1)
        sum=sum/x*(x-1);
    return sum;
}

类似素数塞，时间复杂度： $O (n)$

const int N=1e6+6;
int P[N];
bool Notprime[N];        //不是素数为true
int phi(int MAXN){      //得到1--MAXN所有数的欧拉函数值
    for(int i=1;i<=MAXN;i++)
        P[i]=i;

    for(int i=2;i<=MAXN;i++)
        if(!Notprime[i])
            for(int j=i+i;j<=MAXN;j+=i)
            {
                Notprime[j]=true;
                P[j]=P[j]/i*(i-1);
            }
}

欧拉定理与扩展欧拉定理

公式

$ax%m≡{ax%ϕ(m)%m，a,m互质ax%m，x<ϕ(m),gcd(a,m)!=1a（x%ϕ(m)）+ϕ(m)%m，x>=ϕ(m),gcd(a,m)!=1a^{x} \% m\equiv\left\{\begin{matrix} & a^{x\%ϕ(m)} \%m ，a,m互质 \\& a^{x}\%m ， x<ϕ(m),gcd(a,m)!=1 \\& a^{（x\%ϕ(m)）+ϕ(m)}\%m，x>=ϕ(m),gcd(a,m)!=1\end{matrix}\right.$

证明：

参考博客：https://blog.youkuaiyun.com/hzj1054689699/article/details/80693756

练习题目：

~~http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1759~~
~~https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3884~~
~~http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1395~~
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6363