欧拉定理与函数

欧拉函数

定义

在数论，对正整数n，欧拉函数是不超过n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）。

通式及其性质

通式：$\varphi(x)=x\prod(1-\frac{1}{p_i})$
其中$p_1,p_2,\dots,p_n$为x的所有质因数，$x\geq 1$

若$x$是$p$的$k$次幂，则$\varphi(x)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}$（性质1）
若$(m,n)=1$，则$\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)$（性质2）
当x为奇数时，$\varphi(2x)=\varphi(x)$（性质3）

这些都比较显然吧。。。

通式的证明

若$x=\prod_{p\mid x,1\leq p<x}p^{a_p}$，

则$\varphi(x)=\prod(p-1)p^{a_p-1}=x\prod(1-\frac{1}{p})$（用到了1性质）

貌似就证完了。。。

实现

可以先写个筛法把素数全筛出来

如果求单个x的欧拉函数，那么只需直接利用公式计算即可
而对于1~n的欧拉函数，我们可以利用它的性质进行递推：

刚开始令$\varphi(i)=i$
若$i=\varphi(i)$，那么说明$i$为质数，$\varphi(i)=i-1$，并更新它的倍数的函数值
若$i$为偶数，则根据性质3可得$\varphi(i)=\varphi(i/2)$

这可以和筛法一起实现。

欧拉定理

定理

在数论中，欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则$a^{\varphi(n)}\equiv1(mod\ n)$

证明

设$\varphi(n)=k$
设$x_1,x_2,\dots,x_{k}$为与$n$互质的数
设$m_1=ax_1,m_2=ax_3,\dots,m_k=ax_k$
那么

①m1~mk模n都不同余。
假设$am_i\equiv am_j(mod\ n)$，则因为$(a,n)=1$，所以$m_i\equiv m_j(mod\ n)$，则它们两个必然有一个是合数，矛盾。

②m1~mk都与n互质。
假设余数与n有公因子r，那么$a*xi=pn+qr=r(……)$，a*xi与n不互质，而这是不可能的。

根据①和②，可知$m_1m_2\dots m_k\equiv x_1x_2\dots x_k(mod\ n)$
即$a^kx_1x_2\dots x_k\equiv x_1x_2\dots x_k(mod\ n)$

因为$(x_1x_2\dots x_k)|n$
所以$a^k\equiv1(mod\ n)$
即$a^{\varphi(n)}\equiv1(mod\ n)$

证毕

应用

欧拉定理可以用来解乘法逆元，同时，费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况。因此费马小定理能干的基本上欧拉定理都能干。除此之外，欧拉定理还可以应用于几何方面。