LCM与GCD算法

本文详细介绍了求两个整数的最小公倍数(LCM)和最大公因数(GCD)的两种方法:辗转相除法(欧几里得算法)和素因子分解法。辗转相除法通过不断更新a=b,b=a%b直至a%b=0来求得GCD,进而求得LCM;素因子分解法则基于正整数可分解为若干素数幂的乘积的原理,利用素数及其指数来求解GCD和LCM。

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LCM与GCD算法

LCM(最小公倍数)和GCD最大公因数在做ACM题时经常会用到,求两个整数的LCM和GCD有两种方法。

1. 辗转相除法(欧几里得算法)

定理:对于任意的两个整数a、b (a≥\geqb), 有(a,b) = (b, a%b) . ((a, b)表示a,b的最大公因数)
证明如下:
   a = qb + r,其中q为整数,0≤\leqa&lt;&lt;<b .
   设d = (a, b),则b = md,a = nd .
   则a = qmd + r = nd,进一步推出r = (n-qm)d .
   故d也是r的因数,即d≤\leq(b, r) = (b, a%b) .
   同理,设p = (a, a%b) = (a, r),则r = sp,b = tp,d≤\leqp.
   则a = qtp + sp = (qt+s)p .
   故p也是a的因数, 即p≤\leq(a, b) = d.
   综上,d = p,原命题得证 .

所以要求两个数的最大公因数,只需根据递推式不断进行递推,并更新a = b, b = a%b, 直到a%b = 0为止,则此时的a即为 (a, b) . 求得 (a, b)以后,则[a, b] (最小公倍数)便可由 a*b/(a, b)求得 .

2. 素因子分解

定理:任意一个正整数都能分解成若干个素数的幂的乘积的形式 .
证明略 .

由此可知,a = p1a1p2a2...pnanp^{a_1}_1p^{a_2}_2...p^{a_n}_np1a1p2a2...pnan,b = p1b1p2b2...pnbnp^{b_1}_1p^{b_2}_2...p^{b_n}_np1b1p2b2...pnbn . 其中ai,bi≥0a_i,b_i\geq0ai,bi0 .
故 (a, b) = p1min(a1,b1)p2min(a2,b2)...pnmin(an,bn)p^{min(a_1,b_1)}_1p^{min(a_2,b_2)}_2...p^{min(a_n,b_n)}_np1min(a1,b1)p2min(a2,b2)...pnmin(an,bn) .
  [a, b] = p1max(a1,b1)p2max(a2,b2)...pnmax(an,bn)p^{max(a_1,b_1)}_1p^{max(a_2,b_2)}_2...p^{max(a_n,b_n)}_np1max(a1,b1)p2max(a2,b2)...pnmax(an,bn) .

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