ACM数论专题1——gcd与lcm

前言

作为一个数学选手没有数学部分的总结是不完美滴~~ 既然有句话叫“数论只会gcd”，那就从gcd开始吧~

最大公约数和最小公倍数是什么

最大公因数¹ 也称最大公约数，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为（a，b）。
最小公倍数² 是指两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。整数a，b的最小公倍数记为[a，b]，同样的，a，b，c的最小公倍数记为[a，b，c]，多个整数的最小公倍数也有同样的记号。

例：$(4,6)=2$,$(3,5)=1$,$[4,6]=12$,$[3,5]=15$

如何求得最大公因数和最小公倍数

我们是用gcd（辗转相除法）来求得最大公因数的，为了方便起见，在下文中我们用$gcd(a,b)$来表示a和b的最大公约数，用$lcm(a,b)$来表示a和b的最小公倍数。
对于与最大公约数或最小公倍数有关的问题，我们都是先求出来最大公约数，然后再求出最小公倍数的。因为最大公约数的求解是相对简单的，而知道了最大公约数，能在常数时间内知道最小公倍数。

最小公倍数的求解与证明

求解

上面说到知道了最大公约数，能在常数时间内知道最小公倍数。具体的来说就是：
若$c=gcd(a,b)$，那么a和b的最小公倍数$d=a\ast b/gcd(a,b)$.

证明

我们先求出来$c=gcd(a,b)$,

那么此时显然有$a/gcd(a,b)$和 b / g c d ( a , b ) b/gcd(a,b)