树状数组详解

树状数组是干什么的？

一句话概括：树状数组是查询动态数组前缀和的。一般而言，对于一个值经常变化的数组，我们修改某一个值的复杂度是O(1)，查询某一个前缀和是O(n)，而使用树状数组，则可以做到查询和修改的复杂度均为O(logn)，降了一个数量级。

树状数组的结构和原理

引用百度百科的图片：

上图为一个树状数组的结构：
下面我用$A[n]$表示原数组的元素，$T[n]$表示树状数组的元素。可见每一个树状数组的元素代表的一段原数组的元素的和，例如
$T[12]=A[12]+A[11]+A[10]+A[9]$
$T[11]=A[11]$
$T[10]=A[10]+A[9]$
$T[9]=A[9]$
$T[8]=A[8]+A[7]+A[6]+A[5]+A[4]+A[3]+A[2]+A[1]$
$T[7]=A[7]$
$T[6]=A[6]+A[5]$
$T[5]=A[5]$
$T[4]=A[4]+A[3]+A[2]+A[1]$
$T[3]=A[3]$
$T[2]=A[2]+A[1]$
$T[1]=A[1]$
可以发现每个树状数组的元素保存的是一段数据的和，如果我们想要得到12的前缀和，那么可以通过
$T[12]+T[8]$得到，可以再$O(lgN)$的得到，同样如果要更改$A[6]$的值，我们要把$T[6],T[8],T[16]$的要同时修改掉，更改的时间复杂度是$O(lgN)$，这样我们就可以维护动态的前缀和了。
这里有一个挺难发现的规律，对于树状数组的每一项，他到底是管辖多少个元素呢？比如$T[12]$管辖四个元素。其实$T[i]$管辖元素的个数是$2^k，k$的值是 i 的二进制末尾连续0的个数，大家可以自行验证一下。

Lowbit运算

上回合说到，我们要想得到树状数组的元素，比如$T[i]$，必须要知道i的二进制末尾零的个数$k$，然后$2^k$,为$T[i]$管辖的范围。前辈给我们提供了非常简洁的做法快速计算 $i$ 对应的$2^k$，这个运算有专门的名字叫Lowbit运算。

int lowbit(int i){
    return i&(-i);
}

函数的参数是$T[i]$中的 $i$ ,返回值是$2^k$，为什么会这样，大家首先要了解计算机是怎么存储负数的，然后就明白了。

求前缀和

有上面的介绍，我们就可以通过Lowbit运算轻易求出元素的前缀和。

int getSum(int i){
    int res = 0;
    while(i > 0){
        res += T[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return res;
}

更新树状数组元素

同样对于更新数组元素$A[i]$的过程，我们只需要将包含$A[i]$的所有$T[]$，都进行更改就可以了。

// 对指定A[i]加上value操作
void update(int i, int value){
    A[i] += value;    //不能忘了对A数组进行维护，尽善尽美嘛
    while(i <= n){
        T[i] += value;
        i += lowbit(i);
    }
}