保险精算笔记Chapter02

第二章 年金

引言

• 谷歌员工因意外去世后，其配偶可以在10年之后内继续领取去世员工生前50%的薪水。

• 常用住房按揭贷款还款方式主要有等额本息还款、等额本金还款。

年金(Annuity)就是指间隔一定时间支付一次的系列付款。

• 确定年金(Annuities-certain)：指每个间隔点上都按既定数额支付款项的年金。住房按揭贷款、购物分期付款等. 确定年金一般分为基本年金和一般年金。基本年金：1.时间间隔相等；2.付款频率和计息频率一致；3.每次付款金额相等；4.每期利率相等。不满足上述4个条件的年金就是一般年金。

• 不确定年金(Contingent Annuity)：指每个间隔点上按照一定条件决定是否付款的年金。生存年金(Life Annuity)

• 按付款时刻，确定年金分为期初年金和期末年金。

• 按付款期限，确定年金分为有限年金和永续年金

本章概览：

• 期末年金、期初年金
• 任意时刻的年金值
• 永续年金
• 连续年金

一、期末付、期初付年金

概念

设每年间隔一期付款$1$次，以利率$i$计息$1$次，每期期末(初)付款$1$单位，共付款$n$期，成为$n$期期末(初)付年金。

所有$n$次$1$单位付款在时刻$0$的现值之和称为年金的现值，在时刻$n$的积累值之和称为年金的积累值或终值。

折算到现在，折算到第$n$期，即一个在现在来看，一个从未来来看。

期末付年金的现值和终值

• 现值$a_{\overline{n}|}=v+v^2+\cdots +v^n=\frac{v(1-v^n)}{1-v}=\frac{v(1-v^n)}{d}=\frac{v(1-v^n)}{iv}=\frac{1-v^n}{i},v=\frac{1}{1+i}$
  $a_{\overline{n}|}=\frac{1-v^n}{i}$

• 终值$S_{\overline{n}|}=1+(1+i)+\cdots +(1+i{)}^{n-1}=\frac{1-(1+i{)}^n}{1-(1+i)}=\frac{(1+i{)}^n-1}{i}$
  $S_{\overline{n}|}=\frac{(1+i{)}^n-1}{i}$

• 关系：
  $a_{\overline{n}|}\times (1+i{)}^n=S_{\overline{n}|}$

期初付年金的现值和终值

${\ddot{a}}_{\overline{n}|}=1+v+\cdots +v^{n-1}=\frac{1-v^n}{1-v}=\frac{1-}{d}$