保险精算笔记Chapter01

第一章 利息的基本概念

一、实际利率与实际贴现率

1.利息的概念：简单来讲就是一定时期内所获得的报酬。这里的报酬与本金、利率有关。

2.本金的概念：借款的初始资金。为计算方便以1开始。可看成起始金额。

3.积累值或终值：积累值得决定因素：a.本金；b.时间长度。

利息即终值减去本金，即它们的差额。

假设：本金为1，经过时间t后的积累值为 $a(t)$ ，例如： $a(1)$ 表示经过一年以后的积累值，$a(0)$ 表示起始值，即 $a(0)=1$ 。一般的，当本金不是1时，可以定义 $A(t)=kA(t)$ ，其中 $k$ 表示起始的本金。

注意：$k$ 可以不是整数。

折现因子：$\frac{1}{a(t)}$ 或 $a^{-1}(t)$ ,其含义：在t期末支付一个单位的现值。

例如下图理解：

现值为当初资金，终值是现在的。两者之间的差额为利息。

4. 第 $n$ 时期所得利息 $I_n=A_n-A_{n-1}$

实际利率

5.利率：$i_n=\frac{A\left(n\right)-A\left(n-1\right)}{A\left(n-1\right)}=\frac{I_n}{A\left(n-1\right)}$ ，注意这里分母为第 $n$ 期的起始值。

例如：

某人存100元，第一年末为102，第二年末为105.问第一年实际利率，第二年实际利率分别是多少？

解答：本金：$A(0)=100,A(1)=102,A(2)=105$，有 $I_1=A(1)-A(0)=2,I_2=A(2)-A(1)=3$

$i_1=\frac{I_1}{A(1)}=2\%,i_2=\frac{I_2}{A(1)}=2.941\%$

单利与复利

6.单利：投资1，第$t$期积累值为：$a(t)=1+i\times t$ ，即一定时期内，利率一定。

单利情况下的实际利率为： $i_n=\frac{a\left(n\right)-a\left(n-1\right)}{a\left(n-1\right)}=\frac{i}{1+i\left(n-1\right)}$ ,随着$n$增大，实际利率变小，常数的利率代表递减的实际利率。

7.复利：投资1，第$t$期积累值为：$a(t)=(1+i{)}^t$ ,即将所得利息也作为本金进行计算。

复利情况下的实际利率：$i_n=\frac{a\left(n\right)-a\left(n-1\right)}{a\left(n-1\right)}=i$

结论：单利的利息不作为投资资金而再赚取利息，复利则相反。

例子：

某人借款10000元，年利息为 $2\%$ ,到5年末要还多少？（分别利用单利和复利进行计算。）

解答：按照单利进行计算：则有 $A(5)=10000\times (1+5\times 2\%)=11000$ ;
按照复利进行计算：则有 $A(5)=10000\times (1+2\%{)}^5=$