Python递归优化避免重复递归：递归程序设计艺术(6)

如果不加以优化的话，递归很容易出现重复计算的问题。比如前面计算斐波那契数列，根据公式有F(n) = F(n-1) + F(n-2)。这意味着为了计算F(8)，必须计算F(7)和F(6)。而为了计算F(7)，必须计算F(6)和F(5)，......。这里F(6)就被计算了两次。一般地，递归程序越靠近边界，重复计算的次数就会呈指数增加。当求F(36)时，电脑已经完全僵死，没有反应了。

那怎么解决这个问题呢？规范的方法是这样的：

1. 要保证递归程序除了参数之外没有读写任何外部数据。这是为了保证程序的优化只在程序内部发生作用，不会影响到外部环境。这个特点称为函数不变性(Immutable)，与数据不变性相对应。函数不变性的另一种理解是，只要参数相同，函数总是返回相同的结果。比如随机数发生函数numpy.random.randint()以及日期函数time.time()就不具有不变性。一般地，如果函数是可变的，可以把相关的外部数据引入参数列表中就能解决这个问题。另外，如果函数只是读取外部数据，没有改写它，那函数也是不可变的。
2. 在函数的参数中增加一个字典型(dict)的参数d，作用是保存递归调用的中间结果。字典是一种能够根据键获取值的数据类型，Python中的字典相当于Java中的Map。当发生重复调用时，从d中直接获取结果即可，不必进行重复的递归调用。
3. 把函数当前所有参数集中起来构成一个元组t，在递归假设和递归推导之前看看t是否在d中存在，如果存在，说明本次调用是一个重