连续状态方程离散化

最新推荐文章于 2025-02-22 21:56:53 发布

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连续状态方程

连续状态方程的表达式为：
$\begin{array}{l}\dot x(t) = Ax(t) + Bu(t)\\y(t) = Cx(t) + Du(t)\end{array}$
将以上状态方程离散化以下形式：
$\begin{array}{l}x(k + 1) = Ex(k) + Fu(k)\\y(k) = Gx(k) + Hu(k)\end{array}$

第一种方式：解状态方程

求解

对连续状态方程进行变形：
$\left\{ \begin{array}{l}\dot x(t) - Ax(t) = Bu(t)\\\alpha \dot x(t) - \alpha Ax(t) = \alpha Bu(t)\\(\alpha x(t))' = \alpha Bu(t)\end{array} \right.$
求解 $\alpha$ 为时间t的函数有：
$\alpha = {e^{ - At}}$
所以有：
${\left[ {{e^{ - At}}x(t)} \right]^\prime } = {e^{ - At}}Bu(t)$
求解有：
$\left\{ \begin{array}{l}{\left[ {{e^{ - At}}x(t)} \right]^\prime } = {e^{ - At}}Bu(t)\\\frac{{d\left[ {{e^{ - At}}x(t)} \right]}}{{dt}} = {e^{ - At}}Bu(t)\\\int_{{t_0}}^t d \left[ {{e^{ - At}}x(t)} \right] = \int_{{t_0}}^t {{e^{ - At}}Bu(t)d} t\\x(t) = x({t_0}){e^{A(t - {t_0})}} + B\int_{{t_0}}^t {{e^{ - F\tau }}u(\tau )d\tau } \end{array} \right.$
其中设其实时刻为 ${{t_0}}$ ，对于F为矩阵的情况，可以用指数级数展开的公式计算：
${e^{At}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{(At)}^n}}}{{n!}}}$
一般到二阶即可。

离散化

设相邻采样时刻为 ${t_k}$ 和 ${t_{k + 1}}$ ，有 ${t_{k + 1}} - {t_k} = T$ ， $T$ 为采样间隔。对与求解的表达式代入有：
$x({t_{k + 1}}) = x({t_k}){e^{A({t_{k + 1}} - {t_k})}} + B\int_{{t_k}}^{{t_{k + 1}}} {{e^{ A(t-\tau) }}u(\tau )d\tau }$

$x({t_{k + 1}}) = x({t_k}){e^{AT}} + B\int_{{t_k}}^{{t_{k + 1}}} {{e^{ A(t_{k+1}-\tau) }}u(\tau )d\tau }$

相邻采样时刻间隔很小，这里采用一个近似所有：
$u(\tau ) = u({t_k}),{t_k} \le \tau \le {t_{k + 1}}$
所以有：
$\begin{array}{c}x({t_{k + 1}}) = x({t_k}){e^{AT}} + B\int_{{t_k}}^{{t_{k + 1}}} {{e^{A({t_{k + 1}} - \tau )}}u(\tau )d\tau } \\ = x({t_k}){e^{AT}} + Bu({t_k})\int_{{t_k}}^{{t_{k + 1}}} {{e^{A({t_{k + 1}} - \tau )}}d\tau } \end{array}$
对比离散方程可以推出
${e^{AT}},F = B\int_{{t_k}}^{{t_{k + 1}}} {{e^{A({t_{k + 1}} - \tau )}}d\tau }$
对于 $F$ ，设$\lambda = {t_{k + 1}} - \tau $，可以推出B：
$B\int_0^T {{e^{At }}} dt$
设 ${t_k} = kT$ ，代入到 $x (t)$ 的表达式中有：
$x\left[ {\left( {k + 1} \right)T} \right] = x\left( {kT} \right){e^{AT}} + B\int_0^T {{e^{At}}dt} \cdot u(kT)$
因为 ${k + 1})T$ 只表示序列点出现的时刻，所以拿掉 $T$ 有：
${\left( {k + 1} \right)} = x\left( {k} \right){e^{AT}} + B\int_0^T {{e^{At}}dt} \cdot u(k)$
对于 ${{e^{At}}}$ 有另一种计算方式，对状态方程进行Laplace变化：
$s x (s) - x (0) = A x (s) + B u (s)$
有：
$x(s) = {(sI - A)^{ - 1}}x(0) + {(sI - A)^{ - 1}}Bu(s)$
其中 $I$ 为单位矩阵。对比之前求解的 $x (t)$ 的表达式有：
${e^{At}} = {L^{ - 1}}\left[ {{{\left( {sI - A} \right)}^{ - 1}}} \right]$

第二种方法：欧拉法

写出 $\dot x(t)$ 的表达式：
$\dot x(t) = \frac{{x(k + 1) - x(k)}}{T}$
代入到连续状态方程中有：
$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x(k + 1) - x(k)}}{T} = Ax(k) + Bu(k)\\ \Rightarrow x(k + 1) - x(k) = ATx(k) + BTu(k)\\ \Rightarrow x(k + 1) = \left( {AT + 1} \right)x(k) + BTu(k)\end{array} \right.$
所以有
$\left( {AT + I} \right),F = BT$