分部求和法简介

本文详细介绍了分部求和法的原理及其在数学求和中的应用,通过实例展示了如何利用分部求和法简化复杂的求和过程。

分部求和法

首先我们知道
ddx(u(x)v(x))=u′(x)v(x)+u(x)v′(x) \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(u(x)v(x))=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) dxd(u(x)v(x))=u(x)v(x)+u(x)v(x)

d(u(x)v(x))=u′(x)v(x)dx+u(x)v′(x)dx \mathrm d(u(x)v(x))=u'(x)v(x)\mathrm{d}x+u(x)v'(x)\mathrm{d}x d(u(x)v(x))=u(x)v(x)dx+u(x)v(x)dx

∫d(u(x)v(x))=∫u′(x)v(x)dx+∫u(x)v′(x)dx \int\mathrm d(u(x)v(x))=\int u'(x)v(x)\mathrm dx+\int u(x)v'(x)\mathrm dx d(u(x)v(x))=u(x)v(x)dx+u(x)v(x)dx

移项并注意到∫d(u(x)v(x))=u(x)v(x)\int \mathrm d(u(x)v(x))=u(x)v(x)d(u(x)v(x))=u(x)v(x)
∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x)dx \int u(x)v'(x)\mathrm dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm dx u(x)v(x)dx=u(x)v(x)u(x)v(x)dx
这启示我们:在求解积分∫f(x)dx\int f(x)\mathrm dxf(x)dx时,如果能找到合适的u(x),v(x)u(x),v(x)u(x),v(x),使得被积函数f(x)f(x)f(x)可以表示为u(x)v′(x)u(x)v'(x)u(x)v(x)的形式,并且u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)∫u′(x)v(x)dx\int u'(x)v(x)\mathrm dxu(x)v(x)dx比较好求,就可以用后两项相减求得f(x)f(x)f(x)的积分。

这个式子可以简单地写作
∫udv=uv−∫vdu \int u\mathrm dv=uv-\int v\mathrm du udv=uvvdu
它称为分部积分法

举个栗子:求∫xcos⁡xdx\int x\cos x\mathrm dxxcosxdx

解:设u=x,dv=cos⁡xdxu=x,\mathrm dv=\cos x\mathrm dxu=x,dv=cosxdx,那么v=sin⁡x,du=dxv=\sin x,\mathrm du=\mathrm dxv=sinx,du=dx

∫xcos⁡xdx=∫udv=uv−∫vdu=xsin⁡x−∫sin⁡xdx=xsin⁡x+cos⁡x+C\int x\cos x\mathrm dx=\int u\mathrm dv=uv-\int v\mathrm du=x\sin x-\int\sin x\mathrm dx=x\sin x+\cos x+Cxcosxdx=udv=uvvdu=xsinxsinxdx=xsinx+cosx+C

这种方法同样可以运用到求和式上,我们有对应的分部求和法

先介绍若干记号。

Δf(x)=f(x+1)−f(x)\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)Δf(x)=f(x+1)f(x),为函数f(x)f(x)f(x)的差分函数。Δ\DeltaΔ称为差分算子。

∑f(x)δx\sum f(x)\delta xf(x)δx不定和式,它的含义如下:F(x)=∑f(x)δxF(x)=\sum f(x)\delta xF(x)=f(x)δx当且仅当ΔF(x)=f(x)\Delta F(x)=f(x)ΔF(x)=f(x)

f(x)∣ab=f(b)−f(a)f(x)|_a^b=f(b)-f(a)f(x)ab=f(b)f(a)

∑abf(x)δx\sum_a^b f(x)\delta xabf(x)δx定和式,它的含义如下:若F(x)=∑f(x)δxF(x)=\sum f(x)\delta xF(x)=f(x)δx,则∑abf(x)δx=F(b)−F(a)\sum_a^b f(x)\delta x=F(b)-F(a)abf(x)δx=F(b)F(a)

利用传统的∑\sum表示方法,我们有∑abf(x)δx=∑k=ab−1f(k)\sum_a^b f(x)\delta x=\sum\limits_{k=a}^{b-1}f(k)abf(x)δx=k=ab1f(k)。注意这里求和的上界是b−1b-1b1而不是bbb

在有些参考书上∑ab\sum_a^bab也写作∑ab\sum\limits_a^bab

为了推导分部求和法,我们先推导两个函数的积的差分。
Δ(u(x)v(x))=u(x+1)v(x+1)−u(x)v(x) \Delta(u(x)v(x))=u(x+1)v(x+1)-u(x)v(x) Δ(u(x)v(x))=u(x+1)v(x+1)u(x)v(x)

=(u(x)+Δu(x))v(x+1)−u(x)(v(x+1)−Δv(x)) =(u(x)+\Delta u(x))v(x+1)-u(x)(v(x+1)-\Delta v(x)) =(u(x)+Δu(x))v(x+1)u(x)(v(x+1)Δv(x))

=Δu(x)v(x+1)+u(x)Δv(x) =\Delta u(x)v(x+1)+u(x)\Delta v(x) =Δu(x)v(x+1)+u(x)Δv(x)

两边求和
u(x)v(x)=∑Δu(x)v(x+1)δx+∑u(x)Δv(x)δx u(x)v(x)=\sum\Delta u(x)v(x+1)\delta x+\sum u(x)\Delta v(x)\delta x u(x)v(x)=Δu(x)v(x+1)δx+u(x)Δv(x)δx

∑u(x)Δv(x)δx=u(x)v(x)−∑Δu(x)v(x+1)δx \sum u(x)\Delta v(x)\delta x=u(x)v(x)-\sum\Delta u(x)v(x+1)\delta x u(x)Δv(x)δx=u(x)v(x)Δu(x)v(x+1)δx

这个式子可以简写成
∑uΔvδx=uv−∑ΔuEvδx \sum u\Delta v\delta x=uv-\sum\Delta u\mathrm Ev\delta x uΔvδx=uvΔuEvδx
其中E\mathrm EE移位算子,表示Ef(x)=f(x+1)\mathrm Ef(x)=f(x+1)Ef(x)=f(x+1)

很多时候我们要求的都是定和式,那么定和式的分部求和法形式就是
∑abuΔvδx=(uv)∣ab−∑abΔuEvδx \sum_a^bu\Delta v\delta x=(uv)|_a^b-\sum_a^b\Delta u\mathrm Ev\delta x abuΔvδx=(uv)ababΔuEvδx
举个栗子:化简S=∑k=0n−1CkmHkS=\sum\limits_{k=0}^{n-1}C_k^mH_kS=k=0n1CkmHk。其中HnH_nHn调和级数,定义为H0=0,Hn=∑i=1n1iH_0=0,H_n=\sum\limits_{i=1}^n\cfrac{1}{i}H0=0,Hn=i=1ni1

这里我们使用广义组合数,意味着当k<mk<mk<mCkm=0C_k^m=0Ckm=0

解:S=∑0nCxmHxδxS=\sum_0^nC_x^mH_x\delta xS=0nCxmHxδx

u=Hx,v=Cxm+1u=H_x,v=C_x^{m+1}u=Hx,v=Cxm+1,那么Δv=Cx+1m+1−Cxm+1=Cxm,Δu=1x+1\Delta v=C_{x+1}^{m+1}-C_x^{m+1}=C_x^m,\Delta u=\cfrac{1}{x+1}Δv=Cx+1m+1Cxm+1=Cxm,Δu=x+11

S=∑0nuΔvδx=(uv)∣0n−∑0n1x+1Cx+1m+1S=\sum_0^nu\Delta v\delta x=(uv)|_0^n-\sum_0^n\frac{1}{x+1}C_{x+1}^{m+1}S=0nuΔvδx=(uv)0n0nx+11Cx+1m+1

=Cnm+1Hn−∑k=0n−11k+1Ck+1m+1=C_n^{m+1}H_n-\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k+1}C_{k+1}^{m+1}=Cnm+1Hnk=0n1k+11Ck+1m+1

右边这个和式再熟悉不过了,利用吸收恒等式1k+1Ck+1m+1=1m+1Ckm\frac{1}{k+1}C_{k+1}^{m+1}=\frac{1}{m+1}C_k^mk+11Ck+1m+1=m+11Ckm,那么

S=Cnm+1Hn−1m+1∑k=0n−1Ckm=Cnm+1Hn−1m+1Cnm+1=Cnm+1(Hn−1m+1)S=C_n^{m+1}H_n-\frac{1}{m+1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}C_k^m=C_n^{m+1}H_n-\frac{1}{m+1}C_n^{m+1}=C_n^{m+1}(H_n-\frac{1}{m+1})S=Cnm+1Hnm+11k=0n1Ckm=Cnm+1Hnm+11Cnm+1=Cnm+1(Hnm+11)

还有一个我们很熟悉的栗子:化简T=∑k=1nkCm+km+1T=\sum\limits_{k=1}^nkC_{m+k}^{m+1}T=k=1nkCm+km+1。下面我们用分部求和法来试一试。

T=∑1n+1xCm+xm+1δxT=\sum_1^{n+1}xC_{m+x}^{m+1}\delta xT=1n+1xCm+xm+1δx。设u=x,v=Cm+xm+2u=x,v=C_{m+x}^{m+2}u=x,v=Cm+xm+2,那么Δu=1,Δv=Cm+xm+1\Delta u=1,\Delta v=C_{m+x}^{m+1}Δu=1,Δv=Cm+xm+1

于是T=∑1n+1uΔvδx=(uv)∣1n+1−∑1n+1ΔuEvδxT=\sum_1^{n+1}u\Delta v\delta x=(uv)|_1^{n+1}-\sum_1^{n+1}\Delta u\mathrm Ev\delta xT=1n+1uΔvδx=(uv)1n+11n+1ΔuEvδx

=(n+1)Cm+n+1m+2−∑k=1nCm+k+1m+2=(n+1)C_{m+n+1}^{m+2}-\sum\limits_{k=1}^nC_{m+k+1}^{m+2}=(n+1)Cm+n+1m+2k=1nCm+k+1m+2

=(n+1)Cm+n+1m+2−Cm+n+2m+3=(n+1)C_{m+n+1}^{m+2}-C_{m+n+2}^{m+3}=(n+1)Cm+n+1m+2Cm+n+2m+3

比传统做法更简便。

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