群论(Burnside引理和Polya定理)

本文介绍了群论中的Polya定理,并通过一个正方形2着色的例子展示了如何利用该定理解决计数问题。具体地,考虑通过旋转获得相同图案的情形,Polya定理提供了一种计算不同方案数量的有效方法。

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群论
群指的是满足以下四个条件的一组元素的集合:(1)封闭性 (2)结合律成立 (3)单位元存在 (4)逆元存在。而在信息学中,我们主要用它来处理计数问题。


Burnside引理
因为我们一般只会用Polya,这里就不介绍Burnside了。


Polya定理
我们用一个例子来引入:一正方形分成4格,2着色,有多少种方案?其中,经过转动相同的图象算同一方案。
首先经过转动的这个变换有四种情况:不动、转90°、转180°、转270°(均为顺时针转动)。
我们令这四个格子从左上角开始顺时针编号依次为1、2、3、4。
不动的情况:1,2,3,4各自独立,无法通过这种变化得到彼此
90°的情况:(1,2,3,4)都能通过这种旋转得到彼此
180°的情况:(1,3),(2,4)能通过旋转得到彼此
270°的情况:(1,4,3,2)情况和90°类似
然后方案数是:(24+21+22+21)/4=6(24+21+22+21)/4=6种,事实也是如此
然后我们就得到了Polya定理的公式:=/方案数=∑颜色数循环节个数/变换总数

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