CDQ分治——学习笔记

前言
因为中国集训队的大佬们总会发明一些新的东西,所以中国的计算机竞赛水平才会一直处于国际前沿,而cdq分治也是某一年的集训队成员发明的算法。


什么是CDQ分治
cdq分治是一种分治(这不是废话嘛),和一般的分治一样,它先考虑前半部分,再考虑后半部分,再考虑前半部分对后半部分的影响,而cdq分治的精髓就在于处理前半部分对后半部分的影响。


例题:陌上花开
经典的三维偏序问题,我们可以用cdq来解决。
我们先不考虑有重复的问题。
我们先通过依次排序使s变得有序,去掉一维,再通过分治去掉一维。具体是每次将当前区间分为左边和右边,左边编号为1,右边编号为2,再按c排一边序,只考虑编号为1的花对编号为2的花的影响,每次遇到编号为1的话将他的m加入平衡树,遇到编号为2的花查询当前平衡树中m小于等于自身的,即可顺利解决这题了。
代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=1e5+1000;
const int inf=1e7;
struct stu
{
    int x,y,z,num;
    friend bool operator == (stu t1,stu t2)
    {
        if(t1.x==t2.x&&t1.y==t2.y&&t1.z==t2.z) return 1;
        return 0;
    }
}d[maxn];
struct lily
{
    int y,z,type,id,num;
}a[maxn];
int ans[maxn],level[maxn],cnt,n,k1;

bool cmp(lily t1,lily t2)
{
    if(t1.y!=t2.y) return t1.y<t2.y;
    else if(t1.z!=t2.z) return t1.z<t2.z;
    else return t1.type<t2.type;
}

bool cmp1(stu t1,stu t2)
{
    if(t1.x!=t2.x) return t1.x<t2.x;
    else if(t1.y!=t2.y) return t1.y<t2.y;
    else return t1.z<t2.z;
}

struct Splay_tree
{
    int root,val[maxn],c[maxn][2],fa[maxn],size[maxn],num[maxn];

    void pushup(int x)
    {
        size[x]=size[c[x][0]]+size[c[x][1]]+num[x];
    }

    void rotate(int x)
    {
        int y=fa[x],z=fa[y],k=c[y][1]==x,w=c[x][!k];
        c[z][c[z][1]==y]=x,c[x][!k]=y,c[y][k]=w;
        if(w) fa[w]=y;fa[y]=x;fa[x]=z;
        pushup(y);pushup(x);
    }

    void splay(int x,int tar)
    {
        while(fa[x]!=tar)
        {
            int y=fa[x],z=fa[y];
            if(z!=tar) rotate((c[y][1]==x)^(c[z][1]==y)?x:y);
            rotate(x);
        }
        if(tar==0) root=x;
    }

    void insert(int val1,int num1)
    {
        int now=root,f=0;
        while(now&&val[now]!=val1) { f=now;now=c[now][val1>val[now]]; }
        if(now==0)
        {
            now=++cnt;
            val[now]=val1;
            size[now]=num1;
            num[now]=num1;
            c[now][0]=c[now][1]=0;
            fa[now]=f;
            if(f==0) root=now;
            else { c[f][val1>val[f]]=now;splay(now,0); }
        }
        else
        {
            num[now]+=num1;
            pushup(now);
            splay(now,0);
        }
    }

    void find(int val1)
    {
        int now=root;
        while(c[now][val1>val[now]]&&val[now]!=val1) now=c[now][val1>val[now]];
        splay(now,0);
    }

    int query(int val1)
    {
        find(val1);
        return size[c[root][0]]+num[root]*(val[root]<=val1);
    }

    void init()
    {
        root=0;cnt=0;
        c[0][0]=c[0][1]=val[0]=num[0]=size[0]=fa[0]=0;
    }

}T;

void cdq(int l,int r)
{
    if(l==r) return;
    T.init();
//    T.root=0;cnt=0;
    int mid=(l+r)>>1;
    for(int i=l;i<=mid;i++) { a[i].y=d[i].y;a[i].z=d[i].z;a[i].type=0;a[i].num=d[i].num;a[i].id=i; }
    for(int i=mid+1;i<=r;i++) { a[i].y=d[i].y;a[i].z=d[i].z;a[i].type=1;a[i].num=d[i].num;a[i].id=i; }
    sort(a+l,a+r+1,cmp);
//    for(int i=l;i<=r;i++) cout<<a[i].id<<' '; cout<<endl;
    for(int i=l;i<=r;i++)
    {
        if(!a[i].type)
            T.insert(a[i].z,a[i].num);
        else
        {
            int kk=T.query(a[i].z);
            level[a[i].id]+=kk;
        }
    }
    cdq(l,mid);cdq(mid+1,r);
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k1);
    for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d%d%d",&d[i].x,&d[i].y,&d[i].z);d[i].num=1; }
    sort(d+1,d+1+n,cmp1);
    d[0].x=d[0].y=d[0].z=-inf;
    int n2=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(d[i]==d[n2]) d[n2].num++;
        else d[++n2]=d[i];
    }
    for(int i=1;i<=n2;i++) level[i]=d[i].num-1;
//    for(int i=1;i<=n2;i++) printf("%d %d %d %d\n",d[i].x,d[i].y,d[i].z,d[i].num);
    cdq(1,n2);
//    for(int i=1;i<=n2;i++) printf("%d\n",level[i]);
    for(int i=1;i<=n2;i++) ans[level[i]]+=d[i].num;
    for(int i=0;i<=n-1;i++) printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}

<think>首先,用户的问题是关于CDQ分治算法的基本原理及其应用场景。我需要根据系统级指令来构建我的回答。 系统级指令关键点: - 所有行内数学表达式必须使用$...$格式。 - 独立公式必须使用$$...$$格式并单独成段。 - LaTeX语法正确。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识。 - 回答结构清晰,帮助用户逐步解决问题,保证真实可靠。 参考站内引用: - 引用[1]:关于分治思想的描述,包括分块、递归等。 - 引用[2]:关于书籍的引用,不相关。 - 引用[3]:关于下载资源的链接,不相关。 用户真正的需求是理解CDQ分治的概念和原理,所以我需要专注于CDQ分治CDQ分治的基本原理: - CDQ分治是由陈丹琦(Chen Danqi)提出的一种算法,用于处理偏序问题,如三维偏序问题。 - 它是分治思想的一种应用,特别适合解决离线查询问题。 - 核心思想:将问题分成子问题,递归解决,然后合并结果,处理跨越子问题的部分。 应用场景: - 三维偏序问题:例如,给定点集,统计每个点满足某些条件的点数。 - 动态规划优化:如斜率优化等。 - 其他离线查询问题。 我的回答结构: 1. **介绍CDQ分治**:简要说明其背景和目的。 2. **基本原理**:解释算法步骤,使用数学表达式描述。 3. **应用场景**:列出常见应用。 4. **生成相关问题**:在最后添加相关问题。 5. **添加引用**:在引用段落末尾自然添加引用标识。 数学表达式: - 行内数学:如变量、点坐标等,使用$...$。 - 独立公式:如方程,使用$$...$$。 例如: - 行内:点$P_i = (a_i, b_i, c_i)$ - 独立:偏序关系公式。 生成相关问题: - 基于CDQ分治,如"CDQ分治如何优化三维偏序问题?"或"CDQ分治的时间复杂度分析?" 确保回答真实可靠: - 基于算法知识,CDQ分治常用于OI竞赛中处理偏序问题。 引用处理: - 参考引用[1]是关于分治思想的,我可以引用它来支持分治部分。 - 其他引用不相关,但系统说"请尽可能多的参考用户上一次的问题和你的回答",但用户没有上一次问题,所以基于当前引用。 最终回答大纲: - 开头:介绍CDQ分治。 - 原理部分:分步骤解释,使用LaTeX。 - 应用场景:列举例子。 - 相关问题:在最后添加。 - 结尾:自然结束。</think>### CDQ分治算法的基本原理及其应用场景 CDQ分治(Chen Danqi Divide and Conquer)是由中国计算机科学家陈丹琦提出的一种分治算法变体,主要用于处理离线查询问题,特别是多维偏序问题(如三维偏序)。它在算法竞赛和数据处理中应用广泛,能高效解决一些复杂问题。下面我将逐步解释其基本原理和应用场景,确保内容清晰可靠。 #### 1. CDQ分治的基本原理 CDQ分治基于经典分治思想,但针对偏序问题进行了优化。核心思路是将问题递归分解为子问题,处理子问题内部和子问题之间的影响,最后合并结果。算法主要分为三个步骤:分、治、合。以下是详细解释: - **分(Divide)**:将输入数据(如点集)按某一维度(通常是时间或索引)分成两个大致相等的子集,记为左子集$L$和右子集$R$。例如,给定点集$P = \{P_1, P_2, \dots, P_n\}$,其中每个点$P_i = (a_i, b_i, c_i)$表示三维坐标,我们按第一维$a_i$排序并分割: $$ \text{mid} = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor $$ 这样得到$L = \{P_i \mid i \leq \text{mid}\}$和$R = \{P_i \mid i > \text{mid}\}$。递归地对$L$和$R$应用相同过程。 - **治(Conquer)**:递归处理左子集$L$和右子集$R$,解决子问题内部的偏序关系。例如,在三维偏序问题中,目标是统计每个点$P_i$满足$a_j \leq a_i, b_j \leq b_i, c_j \leq c_i$的点数$j$($j \neq i$)。递归调用确保子集内部的问题被解决。 - **合(Merge)**:合并子问题结果,并处理跨越子集$L$和$R$的影响。这是CDQ分治的关键: - 使用辅助数据结构(如树状数组或线段树)高效处理跨子集贡献。 - 例如,在三维偏序中,合并时需统计$L$中的点对$R$中点的贡献。具体做法: 1. 对$L$和$R$按第二维$b_i$排序。 2. 遍历$R$中的每个点$P_j$,同时维护一个树状数组,用于记录第三维$c_i$的累积值。 3. 对于$P_j$,查询树状数组中满足$c_k \leq c_j$的点数($k$来自$L$),并累加到结果。 这确保了跨子集贡献在$O(n \log n)$时间内完成。 整个算法的时间复杂度为$O(n \log^2 n)$,其中$n$是数据规模。递归公式可表示为: $$ T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right) + O(n \log n) $$ 其中$O(n \log n)$来自合并步骤的排序和树状数组操作。CDQ分治通过“分而治之”高效处理了偏序关系[^1]。 #### 2. CDQ分治的应用场景 CDQ分治特别适合离线查询问题,其中数据点固定,查询可批量处理。常见应用包括: - **三维偏序问题**:如统计逆序对或点对关系。例如,在竞赛中,给定点集统计每个点“支配”的点数(即所有维度都小于等于该点的点)。CDQ分治能高效解决,时间复杂度优于暴力$O(n^2)$。 - **动态规划优化**:用于优化序列问题,如最长上升子序列(LIS)或斜率优化问题。通过分治处理状态转移,减少计算量。 - **离线查询处理**:在数据库或算法中,处理批量查询,如区间统计或范围查询。CDQ分治将查询排序后递归处理,避免实时开销。 - **其他领域**:在计算几何(如最近点对问题)和机器学习数据预处理中也有应用,但需结合具体算法调整。 CDQ分治的优势在于其通用性和效率,但要求问题具有“可分治性”,即子问题独立且合并步骤可高效实现。实际应用中,常结合树状数组等数据结构提升性能。 #### 相关问题 1. CDQ分治如何处理更高维度的偏序问题(如四维偏序)? 2. CDQ分治与普通分治算法的主要区别是什么? 3. CDQ分治在动态规划优化中的具体实现案例? [^1]: 分治思想的核心是递归分解问题,然后合并结果,这在CDQ分治中得到充分体现,如分割点集并递归处理子问题。 [^2]: 算法理论常参考经典书籍,但CDQ分治更常见于竞赛和算法论文。
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