NOIP 2020 T3 移球游戏（构造+分治）

NOIP 2020 T3 移球游戏

题解

• 如果能想到一个个位置复原的话，可以拿到前$40$分。
• 方法其实并不难，只要能想到要这么做，相当于考虑如何交换任意两个位置，借助空柱操作即可。
• 正解的方向很清晰，毕竟题目的部分分给了很明显的提示，
• 容易想到，可以用分治，把左右各自归类，然后递归下去，此时的问题是如何实现归类，也就是如何实现部分分中的$n=2$。
• 先大概捋一捋过程：左右两区间各一个指针从左往右，将当前指针指向的两列中，较多的一种颜色复原，并将其对应的指针后移，以此类推。
• 如何时间复原较多颜色的过程？
• 当颜色都是乱序时不方便处理，可以先让这两列的颜色有序。
• 不妨分成两个步骤，一是使颜色多的在下，少的在上；二是实现复原。
• 发现步骤二很容易，问题是步骤一，如果当前只有一根空柱，似乎难以实现颜色排序，如果有两根空柱的话，则可以一根对应一种颜色，先全部移走，再按颜色移回，
• 事实上并不需要两根完全空的柱子，只需要它们剩下的空位数分别对应该柱中两种颜色的数目即可，那么这两根中一根是原本的空柱，另一根任选，把一定量的求先放到空柱上达到上述的目标，最后再还原即可。
• 复杂度为$O(n\log n\ast m)$，总步数的常数因实现而异。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 55
#define M 410
int a[N][M], c[N];
struct {
	int x, y;
}to[825000];
int ans = 0, n, m;
void mv(int x, int y) {
	a[y][++c[y]] = a[x][c[x]];
	a[x][c[x]--] = 0;
	to[++ans].x = x, to[ans].y = y;
}
void solve(int l, int r) {
	if(l == r) return;
	int mid = (l + r) / 2;
	int i = l, j = mid + 1, k;
	while(i <= mid && j <= r) {
		int s = 0;
		for(k = 1; k <= m; k++) s += (a[i][k] <= mid);
		for(k = 1; k <= m; k++) s += (a[j][k] <= mid);
		int x = i, y = j;
		if(s > m) {
			int t = 0;
			for(k = 1; k <= m; k++) t += (a[i][k] <= mid);
			for(k = 1; k <= t; k++) mv(j, n + 1);
			for(k = m; k; k--) if(a[i][k] > mid) mv(i, n + 1); else mv(i, j);
			for(k = 1; k <= t; k++) mv(j, i);
			for(k = t + 1; k <= m; k++) mv(n + 1, i);
			for(k = t; k; k--) mv(n + 1, j);
			
			int t0 = 0;
			for(k = 1; k <= m; k++) t0 += (a[j][k] <= mid);
			for(k = 1; k <= t0; k++) mv(i, n + 1);
			for(k = m; k; k--) if(a[j][k] > mid) mv(j, n + 1); else mv(j, i);
			for(k = 1; k <= t0; k++) mv(i, j);
			for(k = t0 + 1; k <= m; k++) mv(n + 1, j);
			for(k = t0; k; k--) mv(n + 1, i);
			
			for(k = t + 1; k <= m; k++) mv(i, n + 1);
			for(k = t0 + 1; k <= m; k++) mv(j, n + 1);
			for(k = t + 1; k <= m; k++) mv(j, i);
			while(c[n + 1]) mv(n + 1, j);
			i++;
		}
		else {
			int t = 0;
			for(k = 1; k <= m; k++) t += (a[i][k] > mid);
			for(k = 1; k <= t; k++) mv(j, n + 1);
			for(k = m; k; k--) if(a[i][k] <= mid) mv(i, n + 1); else mv(i, j);
			for(k = 1; k <= t; k++) mv(j, i);
			for(k = t + 1; k <= m; k++) mv(n + 1, i);
			for(k = t; k; k--) mv(n + 1, j);
			
			int t0 = 0;
			for(k = 1; k <= m; k++) t0 += (a[j][k] > mid);
			for(k = 1; k <= t0; k++) mv(i, n + 1);
			for(k = m; k; k--) if(a[j][k] <= mid) mv(j, n + 1); else mv(j, i);
			for(k = 1; k <= t0; k++) mv(i, j);
			for(k = t0 + 1; k <= m; k++) mv(n + 1, j);
			for(k = t0; k; k--) mv(n + 1, i);
			
			for(k = t + 1; k <= m; k++) mv(i, n + 1);
			for(k = t0 + 1; k <= m; k++) mv(j, n + 1);
			for(k = t0 + 1; k <= m; k++) mv(i, j);
			while(c[n + 1]) mv(n + 1, i);
			j++;
		}
	}
	solve(l, mid), solve(mid + 1, r);
}
int main() {
	int i, j, k, l;
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(i = 1; i <= n; i++) 
		for(j = 1; j <= m; j++) scanf("%d", &a[i][j]);
	for(i = 1; i <= n; i++) c[i] = m;
	solve(1, n);
	printf("%d\n", ans);
	for(i = 1; i <= ans; i++) printf("%d %d\n", to[i].x, to[i].y);
	return 0;
}

自我小结

• 这种题手玩可能对正解帮助不大，尽管有一套很好的人工操作策略，用于计算机可能完全不行。更应该考虑比较适合计算机运算的简单重复的过程。
• 思维要变通，正解不行时要有意识地考虑更劣的做法。
• 就这题而言，如果能不考虑整段操作，而考虑单个操作，可以轻松得到40分。