Σd|nφ(d)=n的证明

P.S.:这玩意的证明很有意思，本蒟蒻用了一种奇葩的方式证明的，比较复杂，由于考虑到很多像我一样的蒟蒻看不懂大佬们奥妙重重的博客，于是就讲得通俗易懂一点

首先，φ（n）函数大家应该知道，就是求小于n的所有数k中，gcd（k，n）=1的所有k的个数，即φ（n）=Σ（d|n）1

然后，我们来看一下证明思路：

以12为例：

φ（1）=1

1

φ（2）=1

1

φ（3）=2

1,2

φ（4）=2

1,3

φ（6）=2

1,5

φ（12）=4

1,5,7,11

这些数字看似毫无关联，但是，让我们对其进行一些处理：

将每一个φ（d）中包含的的数都乘上n/d

我们就会得到这么一个表格：

d	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1												1*12=12
2						1*6=6
3				1*4=4				2*4=8
4			1*3=3						3*3=9
6		1*2=2								5*2=10
12	1*1=1				5*1=5		7*1=7				11*1=11

我们发现每一列都有且仅有一个红块，而每行的红块个数即为该行的φ值

我们用代码来说明其正确性：

#include
   
   
    
     
using namespace std;
int main()
{
	int n,i,j;
	int a[1000];
	for (j=1;j<=n;j++) a[j]=0;
	cin >> n;
	cout << "   d   ";
	for (i=1;i<=n;i++) cout << setw(4) << i << "   ";
	cout << endl;
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		if (n%i==0)
		{
			for (j=1;j<=i;j++)
			    if (__gcd(i,j)==1)
			    	a[j*n/i]=1;
			cout << setw(4) << i << "   " ;
			for (j=1;j<=n;j++)
			    if (a[j]==0) cout << " false ";
				else cout << " true  ";
			cout << endl;
		}
	}
}
   
   

为什么能用这种方式证明呢？

让我们来分析分析：

我们先设集合A（d）表示满足φ（d）的元素

即：A(d)={q(d,1),q(d,2),......,q(d,φ(d))}

那么显然：gcd(d,q(d,i))=1

我们将A(d)中的每一种元素都乘以n/d

得到集合B(d)={x*n/d|x∈A(d)}

然后我们会发现：gcd(n,q(d,i)*n/d)=gcd(d*n/d,q(d,i)*n/d)=n/d

由上式可知：

B(d)为小于n，且与n的最大公约数为n/d的数的集合

而两个数的最大公约数是唯一的，故不可能存在重复。

又因为原式为：Σ(d|n)φ(d)

所以：

该式考虑到了n的所有约数，故不可能存在遗漏。

即全集U={1,2,3,......,n}=B(1)∪B(2)∪......∪B(n)

到了这里就显然有答案了哈~~