tr AB = tr BA的证明

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博主忘记 trAB = trBA 的证明方法后自行推导并记录。通过给定两个 n 阶方阵 A 和 B，分别计算 trAB 和 trBA，从双重求和的角度分析两者等价性，还从下标可互换顺序的角度进一步理解，最终完成证明。

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突然忘记怎么证明 $t r A B = t r B A$ ，于是自己推导了一遍。记录下来，强化记忆。

开始证明

首先给定两个 $n$ 阶方阵
$A=\begin{pmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{n1}}&{a_{n2}}&{\cdots}&{a_{nn}}\\ \end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix} {b_{11}}&{b_{12}}&{\cdots}&{b_{1n}}\\ {b_{21}}&{b_{22}}&{\cdots}&{b_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {b_{n1}}&{b_{n2}}&{\cdots}&{b_{nn}}\\ \end{pmatrix}$ 算算 $t r A B$
$AB=\begin{pmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{n1}}&{a_{n2}}&{\cdots}&{a_{nn}}\\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} {b_{11}}&{b_{12}}&{\cdots}&{b_{1n}}\\ {b_{21}}&{b_{22}}&{\cdots}&{b_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {b_{n1}}&{b_{n2}}&{\cdots}&{b_{nn}}\\ \end{pmatrix}$ $AB=\sum_{j=1}^{n}a_{1j}b_{j1}+\sum_{j=1}^{n}a_{2j}b_{j2}+\cdots\sum_{j=1}^{n}a_{nj}b_{jn}\\ =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}$ 再算算 $t r B A$
$BA=\begin{pmatrix} {b_{11}}&{b_{12}}&{\cdots}&{b_{1n}}\\ {b_{21}}&{b_{22}}&{\cdots}&{b_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {b_{n1}}&{b_{n2}}&{\cdots}&{b_{nn}}\\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{n1}}&{a_{n2}}&{\cdots}&{a_{nn}}\\ \end{pmatrix}$ $BA=\sum_{j=1}^{n}b_{1j}a_{j1}+\sum_{j=1}^{n}b_{2j}a_{j2}+\cdots\sum_{j=1}^{n}b_{nj}a_{jn}\\ =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}b_{ij}a_{ji}$

问题关键

原命题也就是要证明
$∑i=1n∑j=1naijbji=∑i=1n∑j=1nbijaji\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}b_{ij}a_{ji}$ $t r A B$ 也可以这样来看： $∑axybyxx,y∈1,2,⋯n\sum a_{xy}b_{yx}\quad x,y \in 1,2,\cdots n\quad$ 其中 $x y$ 有 $n^{2}$ 种组合
同理 $ trBA=∑bxyayxx,y∈1,2,⋯n\,tr BA=\sum b_{xy}a_{yx}\quad x,y \in 1,2,\cdots n$
可见 $x y$ 从 $11$ 取到 $n n$ ，显然两者是等价的

另一个角度理解

因为下标 $i, j$ 互不影响，是可以互换顺序的
$BA=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}b_{ij}a_{ji}=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}b_{ij}a_{ji}$ 再用 $j^{'}, i^{'}$ 替换 $i, j$ 得到 $BA=\sum_{i'=1}^{n}\sum_{j'=1}^{n}b_{j'i'}a_{i'j'}=\sum_{i'=1}^{n}\sum_{j'=1}^{n}a_{i'j'}b_{j'i'}$ 这时就可以看出来 $t r A B = t r B A$