Python统计分析-独立样本t检验

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本文探讨了正态总体参数的显著性检验方法，包括单边和双边假设检验，以及如何通过样本统计量评估两组数据之间的差异。通过实例分析，展示了如何使用Python进行方差齐性检验和独立样本T检验，以确定两台机床加工精度是否存在显著差异。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

单个正态总体参数的显著性检验, 它是把样本统计量的观察值与原假设所提供的总体参数作比较, 这种检验要求我们事先能提出合理的参数假设值, 并对参数有某种意义的备择值, 但在实际工作中很难做到这一点, 因而限制了这种方法在实际中的应用.实际中常常选择两个样本, 一个作为处理,一个作为对照, 在两个样本之间作比较. 比如, 要比较某班男生的成绩是否比女生的高, 服用某种维生素的人是否比不服用的人不易感冒, 或判断它们之间是否存在明显显著的差异, 等等。

设总体X与Y独立，X_{N($\mu_1,\sigma_1^{2}$)，Y}N( $μ2,σ22\mu_2,\sigma_2^{2}$ )。 $X_{1}$ , $X_{2}$ , $X_{3}$ ,…, $X_{n1}$ 是来自总体X的样本, $Xˉ\bar{X}$ 为其样本均值， $S_1^{2}$ 为其样本方差。 $Y_{1}$ , $Y_{2}$ , $Y_{3}$ ,…, $Y_{n2}$ 是来自总体Y的样本, $Yˉ\bar{Y}$ 为其样本均值， $S_2^{2}$ 为其样本方差。

设两正态总体的方差相等，即 $σ12\sigma_1^{2}$ = $σ22\sigma_2^{2}$ = $σ2\sigma^2$

(1) $H0:μ1=μ2<−−−>H1:μ1≠μ2H_0:\mu_1=\mu_2 <---> H_1:\mu_1\neq\mu_2$ (双边假设检验)

(2) $H0:μ1≤μ2<−−−>H1:μ1>μ2H_0:\mu_1\leq\mu_2 <---> H_1:\mu_1>\mu_2$ (单边假设检验)

(3) $H0:μ1≥μ2<−−−>H1:μ1<μ2H_0:\mu_1\geq\mu_2 <---> H_1:\mu_1<\mu_2$ (单边假设检验)

这时在 $H0:μ1=μ2H_0:\mu_1=\mu_2$ 下可得：
$T=(xˉ−yˉ)−(μ1−μ2)(1n1+1n2)s2T=\frac{(\bar{x}-\bar{y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}s^2}$ ~ $t(n_1+n_2-2)$

例：甲、乙两台机床分别加工某种轴承, 轴承的直径分别服从正态分布N( $μ1,σ12\mu_1,\sigma_1^{2}$ )和N( $μ2,σ22\mu_2,\sigma_2^{2}$ ), 从各自加工的轴承中分别抽取若干个轴承测其直径。

设 $μ1=μ2\mu_1=\mu_2$ 问两台机床的加工精度有无显著差异?(取α=0.05)

总体	样本容量	直径
X(机床甲)	8	20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9
Y(机床乙)	7	20.7, 19.8, 19.5, 20.8, 20.4, 19.6, 20.2

from  scipy.stats import ttest_ind, levene
import pandas as pd

x = [20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9]
y = [20.7, 19.8, 19.5, 20.8, 20.4, 19.6, 20.2]
# 方差齐性检验
print(levene(x,y))

# 独立样本T检验,默认方差齐性
print(ttest_ind(x, y))
# 如果方差不齐性，则equal_var=False
print(ttest_ind(x,y,equal_var=False))

print(levene(x,y))
# LeveneResult(statistic=0.49616519174040724, pvalue=0.49361609677338825)
# 检验结果为p>0.05所以，可以认为方差是相等的。
print(ttest_ind(x, y))
# Ttest_indResult(statistic=-0.8548480353442837, pvalue=0.40811369790462515)
#  因为p值=0.4081>0.05, 故接受原假设, 认为两台机床的加工精度无显著差异。