[HAOI2008]圆上的整点

题意

  给定半径$r$，求出圆$C：x^2+y^2=r^2$在圆周上的整点数目
  $r≤2*10^9$

解法

枚举：
  设$Y=y^2,X=x^2,R=r^2$
  则有：$Y=R-X=(r+x)(r-x) ······①$
  令$d=gcd( r+x,r-x ),A=(r+x)/d,B=(r-x)/d$
  ∴$gcd( A,B )=1$,代入①式,得:
  $Y=d^2*A*B$,易知$A,B$必须为完全平方数
  $gcd( r+x,r-x )=gcd( r,x )$或者$gcd( r+x,r-x )=2*gcd( r,x )$
  将所有可能的$gcd( r,x )$和$2*gcd( r,x )$记录下来,去重,记为$d$
  ∵$B=(r-x)/d$为完全平方数，设$B=k^2$
  ∴$x=r-k^2*d$
  求出$x$之后利用①求出$y$，判断$y$是否是完全平方数即可

复杂度

  O（$n$），事实上要比O（）小很多

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define Rint register int
#define Lint long long int
using namespace std;
const int N=100010;
Lint q[N],r,ans;
Lint gcd(Lint a,Lint b)   { return b ? gcd( b,a%b ) : a ; }
int main()
{
    scanf("%d",&r);
    int x=sqrt(r),c=0;
    for(int i=1;i<=x;i++)
    {
        if( r%i!=0 )   continue ;
        q[++c]=i,q[++c]=2*i;
        if( i*i!=r )   q[++c]=r/i,q[++c]=2*r/i;
    }
    sort( q+1,q+c+1 );
    int tmp=c;c=0;
    for(int i=1;i<=tmp;i++)
    {
        q[++c]=q[i];
        while( q[i+1]==q[c] && i+1<=tmp )   i++;
    }
    for(int i=1;i<=c;i++)
    {
        Lint d=q[i];
        for(Lint k=1;k*k*d<=r;k++)
        {
            Lint x=r-k*k*d;
            if( x<=0 )   continue ;
            if( gcd( r+x,r-x )!=d )   continue ;
            Lint w=r*r-x*x,y=sqrt(w);
            if( y*y==w )   ans++;
        }
    }
    printf("%d\n",ans*4+4);
    return 0;
}