傅里叶变换及拉普拉斯变换直观理解总结

傅里叶参考视频 ：1Blue3Brown——https://www.bilibili.com/video/BV1pW411J7s8?spm_id_from=333.999.0.0&vd_source=987ca75cfd3c2a6c6aef5f869b334d44

拉普拉斯参考视频：
https://www.bilibili.com/video/BV1Hs411p7XY?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=987ca75cfd3c2a6c6aef5f869b334d44

傅里叶

傅里叶变换公式如下：

公式每部分含义：
f（x）是原函数，不用做过多说明；
e^-i表示在复平面上的一个单位圆；
wx在x处这个单位圆的旋转角度；
f(x)*e^-iwx表示f(x)在这个单位圆上的位置，当f(x)=0时在圆心，f(x)=1时在圆上；
积分符号意味着f(x)在这个单位圆上所有点的相加，这意味着如果我们把积分后的值除以采样时间，就相当于求这个图形的形心，也就得到了幅值。

拉普拉斯

从公式可以看出，与福利相比就多了个实数域。
将exp(a+iw)拆分成exp(-a)*exp(-iw)，然后把f(t)*exp(a)联合起来看，就相当于求f(t)*exp(-a)的傅里叶变换。
那么当a=0时，就等同于求f(t)的傅里叶变换。
再来看，如果f(t)包含exp相关的分量例如f(t) = exp(t)，那么就有f(t)*exp(-a)，这个啥时候如果a=1就刚好抵消了；
这个思路与上述傅里叶相同，可以看出，a类似于w可以提取出原函数中的exp的分量。
带着这个思路，我们可以直接推测出常见函数的拉普拉斯变换。
如下：

由于当我们对周期型号做傅里叶变换时，在对应频率上能够得到一条高高的竖线。
对应到拉普拉斯变换中也一样，令拉普拉斯变换后的值等于无穷大的时候，也就是分母等于0时，就近似可以看长傅里叶变换得到的那个竖线。
而那个竖线对应的坐标就是原信号的周期频率，例如看上方sin(wt)的拉普拉斯变换，s=wi时，分母为零，且w=0时值为0，就可以推测出，原函数的周期为w。
同理，exp(-at), 变换后的分母，当s=-a时，为0，这时只有实数解，那么说明原函数没有周期分量，只有exp分量，其分量的值为-a。