【UVa】【DP】12099 Bookcase

UVa 12099 Bookcase

题目

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题目大意

有$N$本书，第$i$本书有一个高度$H_i$和宽度$W_i$，现要求构建一个三层的书架，你必须把所有书放在书架上。设三层高度（该层最高的书的高度）之和为$h$，书架总宽度（即每层总宽度的最大值）为$w$，要求$h\times w$尽可能小。

思路

首先我们可以考虑将所有书按高度从大到小排序。不妨设最高的书在第1层，且第二层的高度大于等于第三层的高度。

则我们可以定义状态$d(i,j,k)$为当前已经安排了$i$本书，第二层的宽度为$j$，第三层的宽度为$k$时第二层和第三层的高度之和。

为什么不记录第一层的高度？因为最高的书在第一层，即这一层的书永远都不会比它更高了。

为什么不记录第一层的宽度？因为目前三层的书的总宽度为前$i$本书的总宽度，所以只要知道了第二、第三层的宽度，就知道了第一层的宽度。

另外，因为这些书已经从大到小排了序，所以，一旦三层都放了书，则书架的总高度就已经确定了。

综上，我们可以得到以下两点：

• 若只有第一、第二层放了书，则当且仅当往第三层放书$i$时，第三层的高度会变为$H_i$；
• 若只有第一层放了书，则当且仅当第二层放书$i$时，第二层的高度会变为$H_i$。

所以我们采用刷表法进行转移。

将书$i$放在第一层：用$d(i,j,k)$更新$d(i+1,j,k)$，因为第一层的高度不变。

将书$i$放在第二层：用$d(i,j,k)+f(j,H_i)$更新$d(i+1,j+W_i,k)$。

将书$i$放在第三层：用$d(i,j,k)+f(k,H_i)$更新$d(i+1,j,k+W_i)$。

其中：$f(j,H_i)$当且仅当$j=0$时等于$H_i$，否则等于$0$。

注意：由于状态数量很大（$70\times2100\times2100$），所以我们必须采用滚动数组进行递推。

正解代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int Maxn=70;
const int Maxw=30;
const int INF=0x3f3f3f3f;

struct Book {
    int h,w;
    bool operator < (const Book rhs) const {
        return h>rhs.h||(h==rhs.h&&w>rhs.w);
    }
}A[Maxn+5];
int N,sumw[Maxn+5];
int dp[2][Maxn*Maxw+5][Maxn*Maxw+5];

inline int f(int w,int h) {
    return w==0?h:0;
}
inline void update(int &newd,int d) {
    if(newd<0||d<newd)newd=d;
}

void Prepare() {
    sort(A+1,A+N+1);
    sumw[1]=0;
    for(int i=1;i<=N+1;i++)
        sumw[i]=sumw[i-1]+A[i-1].w;
}

int main() {
    #ifdef LOACL
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--) {
        scanf("%d",&N);
        for(int i=1;i<=N;i++)
            scanf("%d %d",&A[i].h,&A[i].w);
        Prepare();
        int t=0;
        for(int i=1;i<=N;i++) {
            for(int j=0;j<=sumw[i+1];j++)
                for(int k=0;k<=sumw[i+1]-j;k++)
                    dp[t^1][j][k]=-1;
            //不要使用memset，它太慢了!
            for(int j=0;j<=sumw[i];j++)
                for(int k=0;k<=sumw[i]-j;k++)
                    if(dp[t][j][k]>=0) {
                        update(dp[t^1][j][k],dp[t][j][k]);
                        update(dp[t^1][j+A[i].w][k],dp[t][j][k]+f(j,A[i].h));
                        update(dp[t^1][j][k+A[i].w],dp[t][j][k]+f(k,A[i].h));
                    }
            t^=1;
        }
        int ans=INF;
        for(int j=1;j<=sumw[N+1];j++)
            for(int k=1;k<=sumw[N+1]-j;k++)
                if(dp[t][j][k]>=0) {
                    int w=max(max(j,k),sumw[N+1]-j-k);
                    int h=A[1].h+dp[t][j][k];
                    ans=min(ans,h*w);
                }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}