算法设计的两个例子

算法设计的两个例子

标签（空格分隔）： 算法知识文档

---

例1:调度问题

问题:

有n项任务,每项任务加工时间已知.从0时刻开始陆续安排到一台机器上加工.每个任务的完成时间是从0时刻到任务加工截至的时间.

求:

总完成时间(所有任务完成时间之和)最短的安排方案.

实例:

任务集: $S = \lbrace 1,2,3,4,5 \rbrace$
加工时间: $t_{1} = 3, t_{2} = 8, t_{3} = 5, t_{4} = 10, t_{5} = 15$

分析:

我们需要计算的是所有任务完成时间之和.因为只有一台机器,所以做第i项任务需等待第i-1项任务做完,我们所要求解的是如何安排做这些任务的顺序使得总时间最小.比如,如果按照实例所给出的5个任务顺序的进行加工,需要的总时间计算如下:

$$t_{sum} = t_{1} + (t_{1}+t_{2}) + (t_{1}+t_{2}+t_{3}) + (t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}) + (t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}+t_{5})$$

求得: $t_{sum} = 3*5 + 8*4 + 5*3 + 10*2+ 15*1 = 97$

贪心算法的解:

算法描述: 优先选择加工时间短的任务先完成
算法: 按照加工时间从小到大排列$(3, 5, 8, 10, 15)$
解: 任务加工顺序 $(1, 3, 2, 4, 5)$

总完成时间: $t_{sum} = 3*5 + 5*4 + 8*3 + 10*2+ 15*1 = 94$
当前总时间是最小的,后面会给出证明.我们先进行问题的建模.

问题建模

输入:
任务集合: $S = \lbrace 1,2,3,...,n \rbrace$
第j项任务加工时间: $t_{j} \in Z^{+}, j = 1,2,3,..,n$

输出:
调度$I$ ($S$的排列) $i_{1},i_{2},i_{3},...,i_{n}$

目标函数:
I的完成时间, $T_{sum}(I) = \sum_{k=1} ^ n(n-k+1)*t_{i_{k}}$

解:$I^*$使得目标函数的值达到最小

$$T_{sum}(I^*) = min \lbrace T_{sum}(I)|I是S的排列 \rbrace$$

证明贪心算法的正确性:

设计策略:
加工时间短任务的先做

算法:
根据加工时间从小到大排序,依次进行加工

算法的正确性:
对所有输入样例都得到最优解

证明:
加入调度$f$第 $i,j, j = i+1$ 项任务逆序,即$t_{i} > t{j}$
交换任务顺序$j,i, j = i-1$得到新的调度$g$中有$t_{j} < t_{i}$
带入目标函数公式不难知道:

$$A = B-1$$
$$T_{sum}(g)-T_{sum}(f) = (A*t_{i}+B*t{j})-(A*t_{j}+B*t_{i}) = t_{j}-t_{i} < 0$$
可知,减少一个逆序便能减少时间,将任务时间按从小到大排序得到$I^*$,当前序列中没有相邻的逆序对,$T_{sum}(I^*)$就是最优解.

$$\begin{array}{|rrrrrrrr|} \hline & \color{red}{CODE:}& \hline \end{array}$$

/************************************************
@author: hejun
算法复杂度:O(NlogN)
简单的任务调度问题,还没有经过oj题目的验证
************************************************/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
#define MAX_N 100005 // 最大任务总数
int t[MAX_N]; // 第i项任务需要的时间
int n; // 有n项任务

 // 贪心算法解决
void solve(){
    LL ans = 0;
    sort(t, t+n); // 按照任务需要完成的时间从小到大排序
    for(int i = 0; i < n; i++) ans += (n-i)*t[i]; // 计算最优解
    printf("%lld\n", ans); // 输出最优解
}

int main(){
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    int i;
    while(~scanf("%d", &n) && n){ // 输入有n项任务
        for(i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &t[i]); // 输入第i项任务需要的时间
        solve(); // 贪心算法解决
    }
    return 0;
}

运行实例:
输入:
5
3 8 5 10 15
输出:
94

例2:投资问题

问题:

$m$元钱,投资$n$个项目.效益函数$f_{i}(x)$,表示第$i$个项目投资$x$元的效益, $i = 1, 2, 3, ... , n.$求如何分配每个项目的钱使得总效益最大?

实例:

5万元,投资给4个项目,效益函数:

$x$	$f_{1}(x)$	$f_{2}(x)$	$f_{3}(x)$	$f_{4}(x)$
0	0	0	0	0
1	11	0	2	20
2	12	5	10	21
3	13	10	30	22
4	14	15	32	23
5	15	20	40	24

问题建模:

输入:
$n, m, f_{i}(x), i = 1,2,3,..,n, x = 1,2,...,m$

解:
$n$维向量$<x_{1},x_{2},...,x_{n}>, x_{i}是第i个投资第i个项目的钱,使得满足下面的条件$
目标函数:

$$max \sum_{i=1}^nf_{i}(x_{i})$$
约束条件: $$\sum_{i=1}^nx_{i} = m, x_{i} \in N$$

蛮力算法:

描述:
枚举所有可能的解满足$x_{1}+x_{2}+...+x_{n} = m$然后求解当前解的效益总值,得到最大的效益值对应的解向量.

实际计算:
对于当前实例:
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} = 5$
$s_{1} = <0,0,0,5> v(s_{1}) = 24$
$s_{2} = <0,0,1,4> v(s_{2}) = 25$
$s_{3} = <0,0,2,3> v(s_{3}) = 32$
…
$s_{56} = <5,0,0,0> v(s_{56}) = 15$

解:
$s = <1,0,3,1> v(s) = 11+0+30+20 = 61$

算法效率分析:
方程$x_{1}+$x_{2}+ … +$x_{n} = m$的非负整数解的个数估计:
可行解表示成0,1序列:m个1,n-1个0
$1...1 0 1...1 0 1...1$
$n = 4, m = 7$
可行解可以表示成序列:$1011011101$
所以这样的序列个数就是在$m+n-1个数字中选择m个1$
序列个数是输入规模的指数函数:

$$C_{m+n-1} ^ m = \frac {(m+n-1)!} {(n-1)!m!} = \Omega((1+\epsilon)^{m+n-1})$$

小结:

问题求解的关键:

• 建模: 对输入参数和解给出形式化或者半形式化的描述
• 设计算法:采用什么算法设计技术,正确性–是否对所有的实例都得到正确的解
• 分析算法–效率