M斐波那契数列

M斐波那契数列

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题目传送门

Problem Description

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：

F[0] = a
F1 = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

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Input

输入包含多组测试数据；
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）

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Output

对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。

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Sample Input

0 1 0
6 10 2

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Sample Output

0
60

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题目解决

题目分析:

1. 注意到n的范围最大到10^9,所以简单的进行递推时间和空间上都无法处理到限制范围内.
2. 这道题涉及到取余运算,所以我们应该知道取余运算的其中一个性质: $$(a*b) \mod p = ((a \mod p)* (b \mod p)) \mod p$$
3. 注意到该递推式和斐波那契数列有相似之处.

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知识点:

1.斐波那契数列的矩阵运算

1.斐波那契数列

$fib(0) = 0$
$fib(1) = 1$
$fib(n) = fib(n-1)+fib(n-2)$

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	…	…	n-1	n
fib(n)	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	…	…	fib(n-1)	fib(n)

2.将斐波那契数列写到矩阵中

1.考虑按照以下表达式构造n个矩阵:

$$A_{n} = \begin{bmatrix} fib(n) & fib(n+1) \\ fib(n+1) & fib(n+2) \\ \end{bmatrix}$$

2.得到如下矩阵

$A_{0} = \begin{bmatrix}0 & 1 \\1 & 1 \\ \end{bmatrix}$   $A_{1} = \begin{bmatrix}1 & 1 \\1 & 2 \\ \end{bmatrix}$   $A_{2} = \begin{bmatrix}1 & 2 \\2 & 3 \\ \end{bmatrix}$   $A_{3} = \begin{bmatrix}2 & 3 \\3 & 5 \\ \end{bmatrix}$   $A_{4} = \begin{bmatrix}3 & 5 \\5 & 8 \\ \end{bmatrix}$ …   …   …

$A_{n} = \begin{bmatrix}fib(n) & fib(n+1) \\ fib(n+1) & fib(n+2) \\ \end{bmatrix}$

3.矩阵乘法运算

$A_{1} = \begin{bmatrix}1 & 1 \\1 & 2 \\ \end{bmatrix} = A_{0}A_{0}$     A2=[1223]=A0A0A0 A 2 =