编辑距离(Edit Distance)

编辑距离的定义

编辑距离(Edit Distance)是针对两个个字符串S1和S2的差异程度进行量化，计算方式是看至少需要多少次的处理才能将S1变成S2（和S2变成S1是等价的），用 EditDis(S1,S2)表示。
其中处理的方式有三种：
1.插入一个字符
2.删除一个字符
3.替换一个字符

这是严格意义上的距离，满足”距离三公理"：
1.对称性，EditDis(S1,S2) = EditDis(S2,S1)
2.非负性，EditDis(S1,S2) >= 0, 当且仅当S1=S2时，等号成立
3.三角不等式，EditDis(S1,S2) + EditDis(S1,S3) >= EditDis(S2,S3)

例子：S1 = “up”, S2=“app”
Step1：将S1的‘u’ 替换成 ‘a’，此时S1=‘ap’
Step2：在S1最后方插入‘p’，此时S1 = ‘app’ == S2
可见， EditDis(S1,S2)=2

编辑距离的应用

编辑距离是一种非常实用的距离。
1.NLP领域
在NLP中，常用于拼写的纠错。对于一个错误的输入字符串S，我们可以通过计算与其”长得“比较类似的字符串S1，S2，S3，…，Sn之间的编辑距离，从而判断S的正确写法更有可能是谁。

2.基因工程领域
DNA也可以视为用A、C、G和T组成的字符串，因此编辑距离也用在生物信息学中，判断二个DNA的类似程度。

动态规划法求解编辑距离

令 S1.substr(i)表示 S1前i个字符构成的子串，S2.substr(j)表示S2前j个字符构成的子串
dp[i][j]表示S1.substr(i)和S2.substr(j)的编辑距离。
注意，这句话的另一层含义是：当我们计算出了EditDis(S1,S2)则默认了S1.substr(i)已经通过三种处理方式变成了S2.substr(j)。
所以，当我们计算dp[i+1][j+1]时，我们可以利用Dp[i][j]，dp[i+1][j]，dp[i][j+1]的信息。

1.确定最后一步：
令，S1的长度为len1，S2的长度为len2
dp[len1][len2]有三种方式可以实现，一种是S1.substr(len1-1)插入一个字符使之等于S2（dp[len1][len2-1] + 1），一种是S2.substr(len2)删除一个字符使之等于S1（dp[len1-1][len2] + 1），另一种是替换最后一个字符使S1和S2相等（dp[len1-1][len2-1] + 1）

2.确定转移方程：