（卡特兰数+组合)51nod 1120 机器人走方格 V3

最新推荐文章于 2022-02-11 11:54:05 发布

是Elie呀

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分类专栏：组合数学

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本文探讨了在N*N方格中，机器人从左上角到右下角的行走路径问题，要求路径必须位于预设直线之上或之下，且仅能向右或向下移动。文章详细解析了使用组合数学原理计算不同走法的数量，并通过卢卡斯定理处理大数组合的模运算，最终给出了解决方案的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

组合数学组合数

1120 机器人走方格 V3

N * N的方格，从左上到右下画一条线。一个机器人从左上走到右下，只能向右或向下走。并要求只能在这条线的上面或下面走，不能穿越这条线，有多少种不同的走法？由于方法数量可能很大，只需要输出Mod 10007的结果。

收起

输入

输入一个数N(2 <= N <= 10^9)。

输出

输出走法的数量 Mod 10007。

输入样例

输出样例

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const long long int mod=1e4+7;
 
ll mod_pow(ll x, ll n, ll p){ //快速幂 
    ll res = 1;
    while(n){
        if(n & 1) res =res * x % p;
        x = x * x % p;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}
 
ll comb(ll n, ll m, ll p){ //comb用来求解组合数 
    if(m > n) return 0;
    ll ret = 1;
    m = min(n - m, m);
    for(int i = 1; i <= m; i ++){
        ll a = (n + i - m) % p;
        ll b = i % p;
        ret = ret * (a * mod_pow(b, p - 2, p) % p) % p;
    }
    return ret;
}
 
ll Lucas(ll n, ll m, ll p){  //卢卡斯定理---处理大的组合数对素数取模的情况，因为这时如果递推的话将会特别耗时 
    if(m == 0) return 1;
    return comb(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
}
 
int main(){
    ll n;
    scanf("%lld",&n);
    long long ans=2*Lucas(2*n-2,n-1,mod)%mod*mod_pow(n,mod-2,mod)%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}