数值计算笔记之线性方程组的直接解法（一）高斯消去法

最新推荐文章于 2025-03-23 14:07:39 发布

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这篇博客介绍了线性方程组的直接解法，重点讲解了高斯消去法的基本思想和步骤，包括如何通过消元和回代将方程组化为三角形形式，以及高斯主元素消去法的应用，以解决主元素为零或接近零导致的计算问题。

线性方程组的一般形式：

$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ \vdots \\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}=b_{n} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow AX=\beta$

$A = [a_{ij}]_{n\times n}$ ， $X = (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})^{T}$ ， $\beta = (b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})^{T}$

解线性方程组的方法;

消元法
克莱姆法则 $x_{j}=\frac{D_{j}}{D}$
逆矩阵法 $x=A^{-}b$

当未知数非常大的时候，求逆是一件工作量非常大的事，所以一般采用

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