数值计算笔记之迭代法的收敛性

最新推荐文章于 2024-12-30 15:33:51 发布

MinJinFan

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分类专栏：数值计算

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_37264323/article/details/104554106

本文探讨了数值计算中迭代法的收敛性，包括雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法。通过定理和例子阐述了迭代法收敛的充分条件，如矩阵对角占优和谱半径小于1，并提供了判断收敛性的方法。总结中指出，对角占优阵和对称正定矩阵可以确保某些迭代法的收敛性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

回顾，雅可比以及高斯-赛德尔迭代阵。

雅可比迭代阵： $G_{j}=I-D^{-1}A$
高斯-赛德尔迭代阵： $G_{g-s}=-(D+L)^{-1}\cdot U$

迭代法的收敛性

1、充分条件

定理1：若迭代阵 $||G|| <1$ (范数)，则迭代法公式 $X^{k+1}=GX^{k}+d$ 对任意初值均成立。

例：

$AX=b \Rightarrow \begin{bmatrix} 20 &2 &3 \\ 1 & 8 &1 \\ 2& -3 & 15 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 24\\ 12\\ 30 \end{bmatrix}$ ，判断上述迭代法的收敛性。

由 A 有： $L=\begin{bmatrix} 0 & & \\ 1& 0& \\ 2& -3 & 0 \end{bmatrix}$ ， $D=\begin{bmatrix} 20 & & \\ &8 & \\ & & 15 \end{bmatrix}$ ， $U=\begin{bmatrix} 0 & 2 &3 \\ & 0& 1\\ & & 0 \end{bmatrix}$

<1>、对于雅可比迭代法：

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