math证明题

T1

试证明：

$$(x+y-2z)^3+(y+z-2x)^3+(z+x-2y)^3=3(x+y-2z)(y+z-2x)(z+x-2y)$$

证明：
【第一次转化模型】

我们发现三个括号内的数若直接相加的和是为0的，那么通过把问题简化，我只需要证明

$$当有a+b+c=0时，a^3+b^3+c^3=3abc$$ 即可.

这样子成功地把复杂的问题简单化.

【第二次转化模型】

我们发现一个公式

$$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc$$ 可以替我们解决问题.

【小结】
一道看似复杂的证明题被我们成功转化成一道因式分解的题目.

当然，你也可以不怕麻烦的把式子全部拆分，然后互相抵消掉后得到结果，但显然上述做法更严谨，更具有一般性，也更简洁.

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T2

试证明：

$$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+……+\frac{1}{n^2}<\frac{n-1}{n}$$ .

在证不等式题的时候，有一种常用的技巧叫做“扩大缩小值”，即我们如果直接证明$a<b$不好证，我可以把$a$加上一些数后仍不大于$b$，只要加上的数是正数，那么题目就得证了，此题也是运用了这种思想.

【转化模型】

我们知道$\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1*2}$，即有$\frac{1}{n²}<\frac{1}{n(n-1)}$，随即我们把原不等式左边用此代替.

使模型转化成：

$$\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+……+\frac{1}{n*(n-1)}<=\frac{n-1}{n}$$

其实一化简就得知这其实是个恒等式，所以原题得证.

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T3

试证明：$\frac{1}{2}(AB+AC+BC)<OA+OB+OC$

分析：

观察可有：
$OA+OB>BA,OA+OC>AC,OB+OC>BC$

三式相加得$2(OA+OB+OC)>AB+AC+BC$，得证.

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T4

$D$是$BC$中点，试证明：

$$AB+AC>2AD$$

分析：

我们发现直接证明没有简便的方法，故我们可以把图形转化，构造一个边长为$AB,AC,2AD$的三角形求解

作图：

几何语言：

将$△ABC$拼到直线$DC$的下方，使$D$与$D$重合，$B$与$C$重合.

$∵∠EDC=∠ADB,∠EDC+∠ADC=∠ADB+∠ADC=180°$
所以，点$A,D,E$共线.

即$AE=AD+DE=2AD$
在$△AEC$中，$∵AC+EC>AE,EC=AB$，所以原不等式得证.

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T5

证明：

$$AD+BE+CF>\frac{1}{2}(AB+BC+CA)$$

分析：

利用结合T2，T3的思想.

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T6

证明：

$$AB+BC+CA>OA+OB+OC$$

分析：
作：

很容易可以想到：

$$BA+AD>BD,OD+DC>OC$$
两式相加，可得$AB+BC>OA+OC$，同理添辅助线后可得
$$AB+BC>OA+OC，AB+AC>OB+OC，AC+BC>OA+OB$$

三式相加后即可得证.